2018-2019学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．答案填涂在答题卷的相应位置．

1．（5分）设集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）复数为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是　　

A． B． C． D．

3．（5分）如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是　　

A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高 

B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势 

C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为0.8万元 

D．该小卖部2018年前五个月的总利润为3.5万元

4．（5分）抛物线的焦点到准线的距离为2，则的焦点坐标为　　

A． B． C． D．，

5．（5分）已知非零向量，满足，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）在等差数列中，若，则　　

A．60 B．56 C．12 D．4

7．（5分）已知命题：若，则；命题：若，则；在命题：①；②；③；④中，真命题是　　

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

8．（5分）秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为　　

A． B． C． D．

9．（5分）若函数，设，，，则（a），（b），（c）的大小关系　　

A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a） 

C．（c）（b）（a） D．（c）（a）（b）

10．（5分）已知直线，分别是曲线与的对称轴，则　　

A．2 B．0 C． D．

11．（5分）函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是　　

A． B．， C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是　 　，甲不输的概率　 　．

14．（5分）二项式展开式中含项的系数为　　（用数字作答）．

15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体的体积为　　，它的外接球的表面积为　　．

16．（5分）已知数列中，，．当时，是乘积的个位数，则　　．

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

18．（12分）如图所示，在梯形中，四边形为正方形，且，将沿着线段折起，同时将沿着线段折起，使得，两点重合为点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面的所成角的正弦值．

19．（12分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业（以下简称外卖、外卖的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：

表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意．若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高．现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：

视频率为概率，解决下列问题：

（1）从该市使用过外卖的市民中任选5人，记对外卖服务质量评价较高的人数为，求的数学期望．

（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖的“服务质量指标”与外卖的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；

②在市工作的小王决定从外卖、外卖这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为短轴的上端点，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设经过点且不经过点的直线与相交于，两点．若，分别为直线，的斜率，求的值．

21．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）讨论函数的极值；

（2）若，证明：当，，时，．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程．

（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．

[选修4-5不等式选讲]

23．已知．

（1）求不等式解集；

（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围．

2018-2019学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．答案填涂在答题卷的相应位置．

【解答】解：，，

，又，

．

故选：．

【解答】解：，

复数在复平面内对应点的坐标是．

故选：．

【解答】解：前五个月的利润，一月份为万元，

二月份为万元，三月份为万元，四月份为万元，五月份为万元，

故，错误，其利润的中位数0.7万元，故错误，

利润总和为万元，故正确．

故选：．

【解答】解：焦点到准线的距离为2，．

抛物线方程为，焦点的坐标．

故选：．

【解答】解：；

；

；

；

；

与的夹角为．

故选：．

【解答】解：在等差数列中，，

，

解得，

．

故选：．

【解答】解：命题：若，则为假命题，如，当；

由不等式的性质可知命题：若，则为真命题；

①为假命题；②为真命题；③为真命题；④为假命题．

真命题是②③．

故选：．

【解答】解：第一次循环，，，成立，则，，

第二次循环，，成立，则，，

第三次循环，，成立，则，，

第四次循环，，成立，则，，

第五次循环，，成立，则，，

第六次循环，，不成立，输出，

故选：．

【解答】解：根据题意，函数，是二次函数，

其对称轴为轴，且在上为增函数，

，，，

则有，

则（c）（a）（b）；

故选：．

【解答】解：由得，即的对称轴为，，

的对称轴为，，

直线，分别是曲线与的对称轴，

，，，，

则，，，

则，

故选：．

【解答】解：令，解得，函数有唯一的零点，故排除，，

当时，，所以，故排除，

故选：．

【解答】解：双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，

，

是钝角三角形，

是钝角，

即有，

为左焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，

，

，即，

由，可得，

解得或，（舍去），

则双曲线的离心率的范围是．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

【解答】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，

甲获胜的概率是，

甲不输与乙获胜对立互斥事件．

甲不输的概率是，

故答案为：，．

【解答】解：根据题意，展开式的通项为，

令时，有，

则其展开式中含项的系数为，

故答案为：．

【解答】解：根据三视图知，该几何体是四棱锥，把它放入棱长为1的正方体中如图所示

结合图中数据，计算该几何体的体积为：

，

它的外接球的直径为，

则，

所以外接球的表面积为．

故答案为：，．

【解答】解：由题意得，数列中，，，当时，是积的个位数；

则，

依此类推，，，，，，，，

数列是以周期的周期数列，

则；

故答案为：1．

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

【解答】解：（1）由正弦定理得，

即，

即，

则．

（2）由（1）知，，

，当且仅当时取等号，

则三角形面积，

即三角形的面积的最大值是．

【解答】解：（1）证明：四边形为正方形，

，，

，

平面，

平面平面；

以中点为原点建立空间坐标系如图，

，

，

，，0，，，，

，，，

设是平面 的一个法向量，

则，

，

取，则，

设直线与平面的所成角为，

则

，

故直线与平面的所成角的正弦值为：．

【解答】解：（1）对外卖服务质量评价较高的概率（A），

从该市使用过外卖的市民中任选5人，

记对外卖服务质量评价较高的人数为，

则，

的数学期望．

（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，

其评分中外卖的“服务质量指标”与外卖的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率：

（B）

．

②，

，

，

的服务质量指标的期望高于，故选外卖更合适．

【解答】解：（Ⅰ）由，可得，

过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，

，

由，解得，，

椭圆的方程为

（Ⅱ）经过点且不经过点的直线的方程为，即，

代入椭圆程可得，

△，设，，，．

则，，

，

即

【解答】（1）解：．

①时，，令，解得或．

则函数在上单调递减，在内单调递增，在上单调递减．

时，函数取得极小值；时，函数取得极大值．

②时，，函数在上单调递减，无极值．

（2）证明：当，，时，，只要证明即可，

由（1）可知：在，内单调递减，．

．，

令．，

，

时，函数取得极大值即最大值．

，

因此结论成立．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（Ⅰ）由，消去得：．

由，得，即，

，即．

化为标准方程得：．

圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离．

直线与曲线相离；

（Ⅱ）由为曲线上任意一点，可设，

则，

的取值范围是．

[选修4-5不等式选讲]

【解答】解：（1）由题意得，

所以，

整理可得，解得，

故原不等式的解集为．（5分）

（2）由已知可得，恒成立，

设，则，

由的单调性可知，时，取得最大值1，

所以的取值范围是，．（10分）

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2019/12/17 21:20:23；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267