2018-2019学年吉林省高中高三(上)期末数学试卷(理科)
展开1.(5分)
A.B.C.D.
2.(5分)已知集合,,则
A.B.C.D.
3.(5分)
A.B.C.D.
4.(5分)双曲线的左焦点为,且的离心率为,则的方程为
A.B.C.D.
5.(5分)曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是
A.B.C.2D.
6.(5分)设,满足约束条件,则的最小值为
A.3B.C.D.6
7.(5分)函数的图象大致为
A.B.
C.D.
8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.B.C.D.
9.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中记载:“圆周与其直径之比被定为3,圆中弓形面积为为弦长,为半径长与圆心到弦的距离之差).”据此计算,已知一个圆中弓形所对应的弦长,,质点随机投入此圆中,则质点落在该弓形内的概率为
A.B.C.D.
10.(5分)已知在中,角,,的对边分别是,,,若,且,则面积的最大值是
A.B.C.D.
11.(5分)设,,则
A.B.C.D.
12.(5分)已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点,则的取值范围是
A.,B.C.,D.,
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,的夹角为,且,,,则 .
14.(5分)在空间直角坐标系中,,2,,,1,,,1,,则异面直线与所成角的余弦值为 .
15.(5分)已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球,某班上体育课要从中选4个球,规定每种球至少选1个,则不同的选法共有 .(请用数字作答)
16.(5分)已知椭圆,设过点的直线与椭圆交于,两点,且为钝角(其中为坐标原点),则直线斜率的取值范围是 .
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(12分)在递增的等比数列中,,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.(12分)2018年是中国改革开放的第40周年.为了充分认识新形势下改革开放的时代性,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,,,,,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在,,,,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在,内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在,的概率为,1,2,,.当最大时,求的值.
19.(12分)如图,在直三棱柱中,,,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系中,直线与抛物线相交于,两点.
(1)若,求;
(2)若点的坐标为,且,证明:.
21.(12分)已知函数,.
(1)当,时,求的最小值;
(2)当时,若存在,使得对任意的,,都有恒成立,求的取值范围.
选考题:[选修4-4:坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.)
22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)判断曲线,是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设,,且的最小值为.若,求的最小值.
2018-2019学年吉林省高中高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【解答】解:.
故选:.
【解答】解:,;
.
故选:.
【解答】解:.
故选:.
【解答】解:的左焦点为,
可得,且的离心率为,所以,则.
所以双曲线方程为:.
故选:.
【解答】解:因为,所以,所以在点处的切线斜率为7,
切线的方程为,即,在,轴上的截距分别为和,
所以与坐标轴围成的三角形面积.
故选:.
【解答】解:画出,满足约束条件的可行域,如图,
由图可知,当直线过点时,
取得最小值.
故选:.
【解答】解:当时,,当时,(1),故排除,
由于恒成立,故排除,
当时,,故排除,
故选:.
【解答】解:由三视图知该几何体是长方体与半圆柱体的组合体,
如图所示;
则该组合体的表面积为
.
故选:.
【解答】解:由题意已知一个圆中弓形所对应的弦长,,且圆中弓形面积为,可求得:弓形的面积.
设圆的半径为,则,解得,所以圆的面积,
由几何概型中的面积型得:
即质点落在弓形内的概率为.
故选:.
【解答】解:由题意得:,
由,
故,
由余弦定理,得:,
所以,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当时取等号.
故选:.
【解答】解:依题意,可得,
则
.
故选:.
【解答】解:由题意得,,得,故,
因为,,所以.由,得,
因为,故,
所以,
从而当时,,
令,则由题意得在上有唯一解,
故由正弦函数图象可得或,
解得,.
故选:.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
【解答】解:,又,.
故答案为:.
【解答】解:在空间直角坐标系中,
,2,,,1,,,1,,
,,
所以.
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:
①,选出的4个球为1个排球、1个足球、2个篮球,有种选法;
②,选出的4个球为1个排球、2个足球、1个篮球有种选法,
则一共有16种选法;
故答案为:16.
【解答】解:设直线,代入,得,
因为直线与交于不同的两点,,所以△,
解得且.
设,,,,则,,
,
因为为钝角,所以,解得,.
综上所述:.
故答案为:.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
【解答】解:(1)设公比为,由,得,
化简得,解得或,
因为等比数列是递增的,所以,,
所以.
(2)由(1)得,
所以,
则,
所以.
【解答】解:(1)按分层抽样的方法抽取的8人中,
年龄在,内的人数为人,
年龄在,内的人数为人,
年龄在,内的人数为人.
所以的可能取值为0,1,2,
所以,,,
所以的分布列为
.
(2)设在抽取的20名市民中,年龄在,内的人数为,服从二项分布.由频率分布直方图可知,年龄在,内的频率为,
所以,
所以,1,2,,.
设,
若,则,;
若,则,.
所以当时,最大,即当最大时,.
【解答】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形是矩形,所以点是的中点,
又点为的中点,所以是的中位线,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)解:由,,,可得,
分别以,,为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则有,0,,,,,
所以,,,
设直线与平面所成角为,平面的法向量为,
则,即,令,得,
所以.
【解答】(1)解:设,,,,
由得,则,,
从而.
故,,.
(2)证明:设线段的中点为,,
,,.
,,则,即.
设,则是增函数,,且,,
故.
【解答】解:(1)因为的定义域为,
.
①当时,因为,,
所以在,上为增函数,
(2);
②当时,在,上为减函数,在,上为增函数,
;
③当时,在,上为减函数,
.
(2)当时,若存在,使得对任意的,都有恒成立,
则.
由(1)知,当时,.
因为,令,则,
令,得;令,得,
所以在,上单调递减,在上单调递增,
,所以在,上单调递增.
所以,则,
解得,又,,
所以,即实数的取值范围是.
选考题:[选修4-4:坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.)
【解答】解:(1)将,消去参数,得曲线的直角坐标方程为,
将展开整理,得,
因为,,
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)由(1)知曲线是过定点的直线,因为点在曲线的内部,所以曲线与曲线相交.将代入并整理,得,
设曲线,的两交点为,,,,则,,
故曲线,两交点间的距离.
[选修4-5:不等式选讲]
【解答】解:(1)当时,,原不等式可化为,①
当时,不等式①可化为,解得,此时;
当时,不等式①可化为,解得,此时;
当时,不等式①可化为,解得,此时,
综上,原不等式的解集为.
(2)由题意得,,
因为的最小值为,所以,由,得,
所以,
当且仅当,即,时,的最小值为.
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日期:2019/12/17 21:18:11;用户:18434650699;邮箱:18434650699;学号:197372670
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