2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，为实数，且，，为实数，且，则中的元素的个数为
A．0B．1C．2D．3
2．（5分）“”是“复数为纯虚数”的
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？
A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤
4．（5分）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为
A．2B．4C．18D．36
5．（5分）袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则为
A．B．C．D．
6．（5分）已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则
A．B．C．6D．12
7．（5分）如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，，，，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为
A．B．C．D．
8．（5分）已知将函数向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为
A．B．
C．D．
9．（5分）在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左视图为
A．B．C．D．
10．（5分）若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是
A．4B．C．2D．
11．（5分）已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的最大正整数的值为
A．5B．6C．7D．8
12．（5分）已知函数在定义域，上单调递增，且对于任意，方程有且只有一个实数解，则函数在区间，上所有零点的和为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）在的展开式中的系数为 ．
14．（5分）若实数，满足不等式组，则的最大值为 ．
15．（5分）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 个．
16．（5分）如图，三棱柱中，侧棱底面，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点，有下列判断：
①直线与直线是异面直线；
②一定不垂直于；
③三棱锥的体积为定值；
④的最小值为．
其中正确的序号是 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，内角、、的对边分别为、、，中线，满足．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的周长的取值范围．
18．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．
19．（12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望．
20．（12分）已知直线与圆相交的弦长等于椭圆的焦距长．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，椭圆与抛物线交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（选修坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是为参数，，直线的参数方程是为参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线普通方程；
（Ⅱ）若点在曲线上，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数
（1）若的解集为，，求实数，的值
（2）当且时，解关于的不等式
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【解答】解：集合，为实数，且，
，为实数，且，
，解得，，
中的元素的个数为1．
故选：．
【解答】解：“复数为纯虚数”的充要条件为：，即或，
又“”是“或”的充分不必要条件，
即“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：．
【解答】解：由每一尺的重量构成等差数列，，，
该金锤共重斤．
故选：．
【解答】解：双曲线的一条渐近线与直线垂直，
双曲线的渐近线方程为
，得，．
故选：．
【解答】解：（A），，
．
故选：．
【解答】解：根据题意得，，
，
，
故选：．
【解答】解：设小圆半径为，则大圆半径为，
在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为．
故选：．
【解答】解：将函数向右平移个单位长度后，可得的图象，
根据所得图象关于轴对称，可得，．
再根据，可得，，
，，则当取最小值时，函数的解析式为，
故选：．
【解答】解：正方体被经过、、点的平面所截，
其中左边的正方形的左上顶点被切去，故少一个角，右下面留一个斜棱，
故左视图为．
故选：．
【解答】解：对函数求导得，，，
所以，函数的图象在处的切线方程为，即，
该直线与圆相切，则有，化简得，
由基本不等式可得，所以，，
当且仅当时等号成立，所以，的最大值为．
故选：．
【解答】解：设正项的递增等比数列的公比为，，，
联立解得，．
，解得．
．
数列的前项和为
．
则不等式化为：，即．
，．
使不等式成立的最大正整数的值为6．
故选：．
【解答】解：函数在定义域，上单调递增，，
由因为对于任意，方程有且只有一个实数解，函数在定义域，上单调递增，且图象连续，所有
其图象如下：函数在区间，上所有零点分别为0，1，2，3，，
所有零点的和等于．
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【解答】解：由．
令，得．
在的展开式中的系数为．
故答案为：160．
【解答】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）
平移直线，
由图象可知当直线，过点时，直线的截距最小，此时最大，
由，得，
代入目标函数，得，
目标函数的最大值是10，
则的最大值为：．
故答案为：．
【解答】解：1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有个，
4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有个，
所求六位数共有120个．
故答案为：120．
【解答】解：如图，
直线经过平面内的点，而直线在平面内不过，
直线与直线是异面直线，故①正确；
当与重合时，，而，
平面，则垂直，故②错误；
由题意知，直三棱柱的外接球的球心为是 与 的交点，则△的面积为定值，由平面，
到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故③正确；
设，则，．
由其几何意义，即平面内动点与两定点，距离和的最小值知，
其最小值为，故④正确．
故答案为：①③④
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
【解答】解（Ⅰ）在和中，，
因为，所以，，，
由已知，得，即，，又，所以．
（Ⅱ）在中有正弦定理得，又，
所以，，
故，
因为，故，所以，，，
故周长的取值范围是，．
【解答】解：设．以为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，2，，，，，，2，．
（Ⅰ）因为，，
所以．
所以．（4分）
（Ⅱ）因为，
所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值．
因为，
所以当时，即，分别是棱，的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时，坐标分别为，1，，，2，．
设平面的法向量为，
则得
取，，，得．显然底面的法向量为．
设二面角的平面角为，由题意知为锐角．
因为，所以，于是．
所以，即二面角的正切值为．（12分）
【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，
且，互斥，
，
，
（A）．
（Ⅱ）所有可能的取值为0，5，15，35，
，
，
，
，
的分布列为：
．
【解答】解：（1）由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
直线与圆相交的弦长为，则，，
又，，
椭圆的方程．
（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，，，则，，
由题可知，，，所以，．
又直线的方程为，令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标，
所以
，
即为定值．
【解答】解：（1）由，得．
整理，得恒成立，即．
令．则．
函数在上单调递减，在上单调递增．
函数的最小值为（1）．
，即．
的取值范围是，．
（2）为数列的前项和，为数列的前项和．
只需证明即可．
由（1），当时，有，即．
令，即得．
．
现证明，
即．
现证明．
构造函数，
则．
函数在，上是增函数，即（1）．
当时，有，即成立．
令，则式成立．
综上，得．
对数列，，分别求前项和，
得．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程是为参数），消去参数得，令，得．
曲线的参数方程是为参数，，消去参数得，
把点代入上述方程得．
曲线普通方程为．
（Ⅱ）点在曲线上，即，，，在曲线上，
．
[选修4-5：不等式选讲]
【解答】解：（1），
，
即，
的解集为，
，解得，．
（2）当时，函数，
则不等式等价为．
当时，，即与条件矛盾．
当时，，即，成立．
当时，，即恒成立．
综上不等式的解集为，．
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日期：2019/12/17 21:17:57；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267
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