2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合，，3，4，，则　　

A． B．， C．，3，4， D．，2，3，4，

2．（5分）设复数满足，则　　

A． B． C． D．2

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的　　

A． B． C．5 D．6

4．（5分）在平面直角坐标系中，过，，三点的圆被轴截得的弦长为　　

A．2 B． C．4 D．

5．（5分）将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）设为实数，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）对任意实数，都有且，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

8．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．（5分）已知数列为等差数列，为其前项的和．若，，则　　．

10．（5分）已知四边形的顶点，，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　．

11．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为　　．

12．（5分）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，．若，则　　．

13．（5分）2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移动规则是沿着格或格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，　　（填“能”或“不能” 走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二中的格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，，到达右下角标12的方格内，分析图（二中处所标的数应为　　．

14．（5分）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）在中，已知，．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求边上的中线的长．

16．（13分）某日，，三个城市18个销售点的小麦价格如表：

（Ⅰ）甲以市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对，，三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．

17．（14分）如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当侧面是正方形，且时，

（ⅰ）求二面角的大小；

（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

18．（13分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．

19．（14分）过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合．过作轴的垂线分别交直线，于，．

（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；

（Ⅱ）求证：．

20．（13分）已知，，，，是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：

①是的倍数；

②．

（Ⅰ）若，，写出满足条件的所有的值；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）求所有可能取值中的最大值．

2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

【解答】解：集合，2，，

，3，4，，

，2，3，4，．

故选：．

【解答】解：，，．

则．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，

执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

满足条件，退出循环，输出的值为．

故选：．

【解答】解：根据题意，设过、、的圆为圆，其方程为，

又由，，，

则有，

解可得：，，，

即圆的方程为，

令可得：，解可得：，，

即圆与轴的交点的坐标为，，

则圆被轴截得的弦长为4；

故选：．

【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，解析式为，

又此时图象经过点，

，或，．

解得或，．

又，故它最小的值是，

故选：．

【解答】解：若，，则：；

“ “是“ “的充分条件；

时，；

解得；

“ “是“ “的必要条件；

综上得，“”是“”的充分必要条件．

故选：．

【解答】解：，

若，则恒成立，，此时，

若，则恒成立，，此时无解，

综上所述，，

即实数的取值范围是，．

故选：．

【解答】解：正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，

它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，

该正方形对角线长等于正方体的棱长，

所以它的棱长，

以各个面的中心为顶点的正方体为图形是正方体，

正方体面对角线长等于棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的，

对角线为，

，即该小正方体的棱长为．

故选：．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

【解答】解：根据题意得，，

又，

，

，，

，

故答案为：25．

【解答】解：以的连线为轴，

过点且垂直于的直线

为轴，

建立如图所示平面直角坐标系，则：

，，

，，

；

．

故答案为：7．

【解答】解：由三视图画出该三棱锥的直观图，如图所示；

则三棱锥的体积为

．

故答案为：．

【解答】解：设直线的倾斜角为，并设为锐角，由于，则有，解得，则，

由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．

故答案为：5．

【解答】解：如图所示：

如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，

如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，

依次不重复经过2，3，4，5，6，，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，

故处应该为8，

故答案为：能，8

【解答】解：设等腰三角形的底角为，则，

则等腰三角形的底边为，高为，

则，

又，，

当，即时，取最大值，

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

【解答】解：（Ⅰ）由，，所以，

由正弦定理得，，

即；

（Ⅱ）在中，，

由余弦定理得，，

所以，

所以．

【解答】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：

2450，2460，2500，2500，2500．

所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500．

市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，

故的可能取值为0，1，2．

，

，

．

所以分布列为：

所以数学期望．（10分）

（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：，，．  （13分）

【解答】．证明：（Ⅰ）取中点，连，连在△中，因为，分别是，中点，

所以，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以，且．

所以，且．

所以四边形是平行四边形．

所以．

又因为平面，平面，

所以平面．（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）因为侧面是正方形，所以．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．所以．

又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示．

设，则，，，，0，，，，，，0，，，，，．

设平面的一个法向量为，，．

由得即令，所以，1，．

又因为平面，所以是平面的一个法向量．

所以．

由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为．

故答案为：

（ⅱ）假设在线段上存在点，使得．

设，则．

因为，

又，

所以．

所以，．

故点在点处时，有．

【解答】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） 当时：，令解得，

又因为当，，函数为减函数；

当，，函数为增函数．

所以，的极小值为．．

（Ⅱ）．

当时，由，得或．

（ⅰ）若，则．故在上单调递增；

（ⅱ）若，则．故当时，或；

当时，．

所以在，单调递增，在单调递减．

（ⅲ）若，则．故当时，或；

当时，．

所以在，单调递增，在单调递减．

．

（Ⅲ）（1）当时，，令，得．因为当时，，

当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点．

（2）当时：

（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，

且，，

此时在区间上有且只有一个零点．

（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，

只需讨论（1）的符号：

当时，（1），在区间上有且只有一个零点；

当时，（1），函数在区间上无零点．

（ⅲ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，（1），

，

此时在区间上有且只有一个零点．

综上所述，

【解答】（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可得直线的方程为．与椭圆方程联立，由

可求．（4分）

（Ⅱ）证明：当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．

当不与轴垂直时，

设，，，，的方程为．

由消去，整理得．

则，．

由已知，，

则直线的方程为，令，

得点的纵坐标．

把代入得．

由已知，，则直线的方程为，

令，得点的纵坐标．

把代入得．

把，代入到中，

．

即，即（14分）

【解答】（Ⅰ）解：的值可取27，30，33，36；

（Ⅱ）证明：由，2，，对于任意的，有．

当时，，即，即．

则成立．

是的倍数，当时，有成立．

若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为．

则，成立，是的倍数，故．

由，得．

因此当时，；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

且是的倍数，

，，，满足下面的不等式：，，，，，，，，，．

则，，，，，，，，，，当时，这个数列符合条件．

故所求的最大值为85．

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日期：2019/12/17 21:16:10；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267