2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）已知函数为奇函数，且当时，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）双曲线，当变化时，以下说法正确的是　　

A．焦点坐标不变 B．顶点坐标不变 C．渐近线不变 D．离心率变化

5．（5分）若实数，满足，则的最大值是　　

A．2 B．1 C． D．

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A． B．16 C． D．

7．（5分）若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是　　

A．， B．， 

C．， D．，

8．（5分）已知函数，则不等式的解集为　　

A．， B．，， C．，， D．，，

9．（5分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为　　

A． B． C． D．

11．（5分）由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，　　

表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值

A．5 B．6 C．7 D．8

12．（5分）已知偶函数的定义域为，且满足，当，时，．

①方程有2个不等实根；

②方程只有1个实根；

③当，时，方程有7个不等实根；

④存在，使

正确的序号是　　

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）设向量，，若，则实数　　．

14．（5分）二项式的展开式中，的系数为　　（用数字填写答案）

15．（5分）已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球的表面积为　　．

16．（5分）锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是　　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分

17．（12分）已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和．

18．（12分）如图，正方形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点．

（1）当的斜率为1时，求△的面积；

（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程．

20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

（1）求，；

（2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在，或，为合格，钢管内径尺寸在，为优等．钢管的检测费用为2元根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．

若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；

已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元根售出；

第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元根，优等钢管60元根．

请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．

21．（12分）已知，．

（1）若，判断函数在的单调性；

（2）证明：，；

（3）设，对，，有恒成立，求的最小值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和分别与曲线相交于、两点，两点异于坐标原点）．

（1）求曲线的普通方程与、两点的极坐标；

（2）求直线的极坐标方程及的面积．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数．

（1）证明；

（2）若不等式的解集为，求实数的值．

2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

【解答】解：由中不等式变形得：，

解得：或，即，，，

，，

，，

故选：．

【解答】解：根据题意，当时，，则，

又由函数为奇函数，则（2）；

故选：．

【解答】解：，，

则，

故选：．

【解答】解：当时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在轴上，离心率不变，渐近线方程为：不变．

故选：．

【解答】解：作出实数，满足对应的平面区域如图：

由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，

直线，的截距最小，此时最大，

由，解得，．

故选：．

【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示；

则该几何体的体积为．

故选：．

【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．

令，求得，

可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为，，

故选：．

【解答】解：，即或，

由，解得：，

由，解得：，

由，无解，

由，解得：，

故不等式的解集是，，，

故选：．

【解答】解：当区域标记的数字是2，区域标记的数字是1时，

恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，

此时所在的小方格个数，

标记为1的区域中小方格的个数，

恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是．

故选：．

【解答】解：求周长的最小值，即求的最小值，

设点在准线上的射影为，

根据抛物线的定义，可知

因此，的最小值，即的最小值

根据平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，

因此的最小值为，

，此时，，所在直线的斜率为：

故选：．

【解答】解：由图知时，函数取得最大值，

此时，

时，函数；

当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克百毫升时可以驾车，此时；

由，得，

两边取自然对数，得，

即，解得，

所以喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．

注：如果根据图象可猜出6个小时．

故选：．

【解答】解：对于①，，由可得或（舍去），

即；由可得或（舍去），故①正确；

对于②，方程，设，即，解得，即，

由，可得为周期为2的函数，

的根为，，故②错误；

对于③，当，时，方程，

可设，则，可得，，

由在的值域为，，可得，0，2，4，6，8，10，有7个不等实根，故③正确；

对于④由，即，可设，

则，解得，由，即，

由△，可得，

即，故④错误．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

【解答】解：；

；

；

解得．

故答案为：．

【解答】解：二项式的展开式中通项公式为，

令，求得，故的系数为，

故答案为：10．

【解答】解：如下图所示，

设圆台的一个轴截面为等腰梯形，则，，

过点、分别作、，垂足分别为点、，

则，

且，

所以，，

在中，，，

设球的半径为，则为外接圆的直径，

由正弦定理可得，，

因此，球的表面积为．

故答案为：．

【解答】解：中，，

又由余弦定理可得：，

，整理可得：，①

，

，

由①利用正弦定理可得：，

可得：，

可得：，或（舍去），

，

又，，，均为锐角，由于：，，，，

可得：，可得：，

在锐角中，，，，，

，

．

故答案为：．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分

【解答】解：（1）2，，成等差数列，可得，

当时，，解得，

时，，

化为，

可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，

即有，；

（2），

，

，

即有前项和

．

【解答】证明：（1）平面平面，平面平面，

，

平面，，

在中，，，

由余弦定理得，，

，，

平面，平面，，

平面，

又平面，平面平面．

解：（2）四边形是等腰梯形，，

又由（1）知，，

，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，由，，0，，，，，

由，，得，，，

，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

平面的法向量，0，，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【解答】解：（1）依题意，因，又，所以，，，所以，椭圆的标准方程为．

设点，、，，当时，直线的方程为，

将直线与椭圆的方程联立得，消去得，，解得，，则，

所以，；

（2）设直线的斜率为，由题意可知，

由，消去得，，

△恒成立，由韦达定理得，

设线段的中点为，，则，，

设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得，

整理得，，等号成立时．

故当截距最小为时，，此时，直线的方程为．

【解答】解：（1）由题意知，

，

解得．

（2）由（1）知钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，所有可能的取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的分布列为：

．

按第一种方案：，

按第二种方案：，

，

若时，，则按第一种方案；

若时，，则第一、第二种方案均可；

若时，，由按第二种方案．

【解答】（1）解：由题意：，，

当，时，，，恒成立，

函数在区间上是增函数；

（2）证明：由（1）知，当时，在单调递增，

（1），，，

设，则，

，

，

即结论成立；

（3）解：由，

即：，

，

，

，

，单调递增，又，（1），

则必然存在，使得，

在单调递减，，单调递增，

，

，，

，

又，则，

，恒成立，

令，，

则，，

在单调递增，

又，

，

在单调递增，

，

，

又为整数．

最小整数的值为：2．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）曲线和参数方程为，

消去参数得曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为．

将直线和代入圆的极坐标方程得，，

、两点的极坐标分别为，．

（2）由，，得，，，，

根据两点式方程得直线的方程为，

的极坐标方程为．

直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，

且，，

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）证明，；

（2）由，

可得，，

当时，，解得：，

这与矛盾，故不成立，

当时，，解得：，

又不等式的解集是，

故，解得：．

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日期：2019/12/17 21:16:27；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267