2018-2019学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．（5分）已知集合，则实数的取值范围为　　

A． B．， C． D．，

2．（5分）若，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）已知为等差数列，若，为方程的两根，则的值为　　

A． B． C．15 D．30

4．（5分）已知直线的倾斜角为，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间，上则的值为　　

A． B． C． D．1

6．（5分）从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，，则线段的长为　　

A． B．3 C． D．

7．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则该人第三天走的路程为　　

A．96里 B．48里 C．24里 D．12里

9．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知三棱锥的侧棱底面，，，且，则该三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若点是抛物线的准线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

12．（5分）设曲线上任意一点处的切线为，若在曲线上总存在一点，使得曲线在该点处的切线平行于，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量与夹角为，，，若，则实数的值为　　．

14．（5分）已知实数，满足的最小值为　　．

15．（5分）如图，正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点的截面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为　　．

16．（5分）已知函数是三个不相等的实数，且满足（a）（b）（c），则的取值范围为　　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

18．（12分）已知函数．

（1）求的单调递增区间．山东中学联盟

（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．若（A），的角平分线交于，且的面积．

19．（12分）如图所示，菱形中，平面，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，，与平面所成角为，求平面与底面所成角的余弦值．

20．（12分）已知点在椭圆，过的动直线与圆相交于、两点，的最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设、是椭圆上的两个动点，且横坐标均不为1，若直线的斜率为，试判断直线与的倾斜角是否互补？并说明理由．

21．（12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，，证明：．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为为参数），与交于、两点．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若、、成等比数列，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）若（1），求实数的取值范围．

（2）求证：．

2018-2019学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

【解答】解：，，

，，，

，，，

，，，

实数的取值范围为：，．

故选：．

【解答】解：若，则，故错误，

，则与大小关系不确定，故错误，

成立，故正确，

，故错误，

故选：．

【解答】解：为等差数列，若，为方程的两根，

，，

，

，

，

．

故选：．

【解答】解：由直线的倾斜角为，可得，

．

故选：．

【解答】解：是定义在上且周期为2的函数，

在区间，上

（1），

．

故选：．

【解答】解：根据题意，圆，即，圆心为，半径，设，

从坐标原点向圆作两条切线，则与轴垂直，设与轴的交点为，

则，，

则，

则，则；

故选：．

【解答】解：根据三视图知该几何体是半圆柱与长方体的组合体，

下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4；

上面半圆柱的半径为2，高为5；

几何体的表面积为：

．

故选：．

【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，

又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，

解可得：，

则；

故选：．

【解答】解：，是偶函数，图象关于轴对称，排除．

，排除，

当时，的递增速度大于的递增速度，即，排除，

故选：．

【解答】解：在中，由余弦定理得，

所以，的外接圆的直径为，

由于平面，且，

所以，三棱锥的外接球直径为，则，

因此，该三棱锥的外接球的体积为．

故选：．

【解答】解：抛物线的准线的方程为，

则，

，

不妨令且抛物线的准线与轴的交点为，

双曲线的左、右焦点分别为，，则，

故为，，

则，，

整理可得，且，

两边平方解得，

当时，，故应舍去，

故，

此时，

故，

故选：．

【解答】解：的导数为，

由可得，，

的导数为，

设切点为，可得切线的斜率为，，

由题意可得，，，

即有，且，

解得，

故选：．

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．

【解答】解：的夹角为，；

；

又；

；

．

故答案为：．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，

平移直线，

由图象可知当直线经过点时，

直线的截距最大，

此时最小，由解得，

此时，

故答案为：．

【解答】解：在平面中，过作，交延长线于点，

连结，交于，连结，

则就是过，，三点的截面与平面的交线，

由题意得，，

，是直线与所成角（或所成角的补角），

设正方体中棱长为3，

则，，，

．

直线与所成角的余弦值为．

故答案为：．

【解答】解：作出的图象如图：．

当时，由，得，得，

若，，互不相等，不妨设，

因为（a）（b）（c），

所以由图象可知，，

由（a）（b），

得，

即，

即，

则，

所以，

因为，

所以，

即，

所以的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

【解答】解：（1），当时，可求．

由，①，

可得，②，

②①得，即．

为以4为首项，2为公比的等比数列，；

（2），

．

．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1），分

令，，解得：，，

的单调递增区间为：，，分

（2）（A），即：，

，，

，，

，

，分

在中，，，，

，即：，

，

，

，分

，为正三角形，

，，

．分

【解答】证明：（1）平面，平面，，

是菱形，，

又，平面，

平面，平面平面．

解：（2）取的中点，连结，则，，，

以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

平面，是与平面所成角，

，，

设菱形的边长为1，则，，

则，，，，，，0，，，，，

，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

平面的法向量，0，，

设平面与底面所成角的平面角为，

则．

平面与底面所成角的余弦值为．

【解答】解：（1）当时，最小，，所以，，

又因为点在椭圆上，所以，，则，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点、的坐标分别为，、，，直线的方程为，

联立，得，

△，得，

由韦达定理得，．

所以，

，

即直线的斜率和直线的斜率互为相反数，所以，直线和直线的倾斜角互补．

【解答】解：（1）由题意得，的定义域是，

，

令，

函数在定义域内有两个不同的极值点

等价于在上2个零点，

，

当时，在上，，递减，不满足题意，

当时，在上，，递增，

在，上，，递减，

要使在上2个零点，

只需，即，解得：，

故的范围是；

（2）由（1）可知，，，

两式相减可得①，

，

要证明，

只需证明，

即证明，②，

把①代入②整理得：，

令，即证明，

令，则，

当时，，函数在递减，

故（1），

故，命题得证．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，，

曲线的直角坐标方程为，

过点的直线的参数方程为为参数），

直线的普通方程为．

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：

，

△，解得，

，，

、、成等比数列，

由已知得：，即，

，，

或（舍，

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）由已知有：（1），

①当时，，即，解得：，

②时，，即，解得：，

综合①②得：

实数的取值范围为：或，

故答案为：或

（2）由绝对值的性质可得：

，

又当时，由均值不等式可得：，

所以，

即，

故命题得证．

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日期：2019/12/17 21:21:56；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267