2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，0，，则　　

A． B．， C．，0， D．

2．（5分）已知复数满足（其中为虚数单位），则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知命题：关于的不等式的解集为；命题：函数有极值．下列命题为真命题的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）如图，在中，，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为　　

A． B． C． D．

5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A．5 B． C．6 D．8

6．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．在区间上单调递减 

C．图象的一条对称轴为 

D．图象的一个对称中心为

7．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面与两个圆锥面的交线为，，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．2

9．（5分）已知，且，，，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，则输出的为　　

A． B． C． D．

11．（5分）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，若对任意，，不等式恒成立，其中，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）展开式中常数项为　　．

14．（5分）若实数，满足约束条件，则的最大值为　　．

15．（5分）我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米．若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为　　米．

16．（5分）已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分

17．（12分）已知数列是递增的等差数列，满足，是和的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心．

（1）求证：平面；

（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．

19．（12分）某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台．试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货．

（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．

（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈．座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望．

附：，其中

20．（12分）已知椭圆过点，左焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足为坐标原点）．判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数），其中，直线与曲线相交于，两点．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若点满足，求的值．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．

2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【解答】解：集合或，，0，，

，．

故选：．

【解答】解：由得，

则，

故选：．

【解答】解：由得，即命题是假命题，

函数的导数为，则判别式△，则有两个不同的实根，则存在极值，故命题是真命题

则为真命题，

其余为假命题，

故选：．

【解答】解：由题意，题目符合几何概型，

中，，，，面积为，

阴影部分的面积为：三角形面积圆面积，

所以点落在阴影部分的概率为；

故选：．

【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为左视图的直五棱柱，

且五棱柱的高为2，底面积为，

所以该几何体的体积为．

故选：．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，

故它的最小正周期为，故排除；

在区间上，，，故 没有单调性，故排除；

当时，，故排除；

当时，，故正确，

故选：．

【解答】解：函数的定义域为，

则，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，

当时，，排除，

（2），

函数在时，存在负值，排除，

故选：．

【解答】解：两个圆锥的底面半径为，母线长均为，

可得圆锥的高为，

四边形为矩形，对角线，的长为，

可得直线，的夹角为，

由双曲线的两条渐近线分别平行于，，

由双曲线的渐近线方程为，

即有，

则．

故选：．

【解答】解：由题意，，且，

所以可将两向量放到坐标系内，如图可令，

，

令，因为，所以向量的终点在以为圆心，以为半径的圆上，

又圆到原点的距离是，所以的取值范围是，

故选：．

【解答】解：由程序框图的功能是输出的最大值，

用特殊值，代入验证得出，

即，

则输出的为．

故选：．

【解答】解：抛物线的焦点，，准线方程：，设，，，

由于直线过，，故设方程，

由，消可得，

，

，

为中点，

，

，

，

解得，

，

，

即，

即，

故选：．

【解答】解：函数，

当时，递减，

时，递减．

时，，

由函数的单调性可得在上递减，

则有不等式，

即为，

则有，

即为在，上恒成立，

令，，，，

对称轴，

①即时，

在，递减，在，递增，

故，

解得：，

②即时，

在，递减，

故（1），

解得：（舍

综上：，

故选：．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

【解答】解：由．

取，得．

展开式中常数项为．

故答案为：15．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由的得，

平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，

最大值为，

故答案为：4．

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；

则，，

设，，则，

则，，

，

，

解得或（不合题意，舍去），

该小区内住宅楼楼间距实际为54米．

故答案为：54．

【解答】解：如图，

是球的内接正三棱锥，设它的高为，

，则为正三角形的中心，

球心在上，

，即，

在中，．

．

，

．

当且仅当，即时等号成立．

半径为3的球的内接正三棱锥体积的最大值为；

设正四棱锥的底面边长等于，

底面到球心的距离等于，

则，

而正四棱锥的高为，

故正四棱锥体积为：

，

当且仅当时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，是和的等比中项．

，，即，

联立解得：，．

．

（2），

数列的前项和．

【解答】解：（1）延长交于，连接，

为的重心．．

为的中点，交于点，．

．

又平面，平面，

平面；

（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．

设．则，1，，，2，，，2，，，3，

，，

设面的法向量为，

由．

，，

设面的法向量为

由．

．

二面角的余弦值为．

【解答】解：（1）根据题意知，设“对性能满意”的客户为人，则“对性能不满意”的客户为人，

则，解得，

则“对性能不满意”的客户有45人，其中恰有人选择了退货；

由此填写列联表如下；

计算，

所以有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”；

（2）根据题意知，按分层抽样法抽取6位客户，购买产品抽取2人，不购买产品抽取4人，

则购买产品的2名客户人均所得奖金的可能取值为300，450，600，750，

计算，

，

，

，

则的分布列为：

数学期望为，

所以购买产品的客户人均所得奖金的数学期望值为500元．

【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，

所以，，由于，则，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点，、，，

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得，由韦达定理得，

则，，

则点的坐标为．

，可得点的坐标为．

由于点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆的方程得，化简得．

，

原点到直线的距离为，

，所以，（定值）．

【解答】解：（1），

若，当时，，递减，

时，，递增，

当时，令，解得：或，

若，，恒成立，在递增，

若，，

当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增，

若，，

当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增，

综上：若，在递减，在递增，

若，在递增，

若，在递增，在递减，在递增，

若，在递增，在递减，在递增；

（2）当时，，

令，解得：，此时1个零点，不合题意，

当时，由（1）可知，

在递减，在递增，

有2个零点，必有，即，

而（1），

故当时，个零点，

当时，，

取，则，

故当，时，个零点，

故当时，个零点，符合题意，

当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意，

当时，在递增，在递减，在递增，

，

，故，

此时，至多1个零点，不合题意；

当时，在递增，在递减，在递增，

，

此时，最多有1个零点，不合题意，

综上，若有2个零点，

则的范围是，．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，，

所以曲线的直角坐标方程是；

（2）点在直线为参数），且恰好是直线所过的定点，

将为参数）代入，整理得，

，

又，不妨令在轴左侧，在右侧，

则有，即，

又，所以，解得．

【解答】解：（1）当时，，

故或或，

解得：或，

故不等式的解集是或；

（2）由题意知，当时，，

即恒成立，

又，

故或，

解得：，

即，．

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日期：2019/12/17 21:19:48；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267