2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：

1．（3分）已知集合，，则　　

A． B． C．， D．

2．（3分）已知变量，满足约束条件，则的最大值为　　

A． B．1 C．3 D．0

3．（3分）设，为向量，则是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（3分）某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是　　

A．2 B．1 C． D．

5．（3分）直线截圆所得劣弧所对的圆心角是　　

A． B． C． D．

6．（3分）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为　　

A． B． C． D．

7．（3分）函数是　　

A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增 

C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增

8．（3分）已知函数，且存在不同的实数，，，使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：

9．（3分）已知，其中，是实数，是虚数单位，则　 　．

10．（3分）已知正方形的边长为2，为的中点，则　　．

11．（3分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为　　，　　．

12．（3分）（文等比数列的前项和为，已知，，则　 　．

13．（3分）设点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值为　 　．

14．（3分）设函数在上存在导数，，有，在上，，若，则实数的取值范围是　　．

三、解答题

15．中，角、、所对的边分别为，，，已知，，

（1）求；

（2）求边的值．

16．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；

（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率．

17．如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦；

（3）求二面角的余弦．

18．已知数列的前项和为

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为，

（1）若△为等边三角形，求椭圆的方程；

（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．

20．已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．

（Ⅰ）求，，，的值；

（Ⅱ）若时，，求的取值范围．

2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

【解答】解：因为或，

又集合，

所以或，

故选：．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的及其内部，其中，，

设，将直线进行平移，

当经过点时，目标函数达到最大值

故选：．

【解答】解：，

若，为零向量，显然成立；

若则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．

而，则与的夹角为为零角或平角，有．

因此是的充分必要条件．

故选：．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，

底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，2，

侧棱与底面垂直，侧棱长是2．

几何体的体积是．

故选：．

【解答】解：圆的圆心为，圆心到直线的距离，

而圆的半径等于2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是，

则有，可得，故，

故选：．

【解答】解：设要求的双曲线为，

由椭圆得焦点为，顶点为．

双曲线的顶点为焦点为．

，，．

双曲线为．

故选：．

【解答】解：由于函数，故函数为偶函数，

故排除、．

令，，求得，，故函数的减区间为，，．

令，，求得，，故函数的增区间为，，，

故选：．

【解答】解：函数的图象如图所示：

设，

又当，时，是增函数，

当时，，

设，，

即有，

故

，

由，，

可得，即在递增，

可得的范围是．

故选：．

二、填空题：

【解答】解：已知，，即，

，，，则，

故答案为．

【解答】解：已知正方形的边长为2，为的中点，则，

故 ，

故答案为 2．

【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：

甲组数据的中位数为15，；

又乙组数据的平均数为16.8，

，

解得：；

综上，、的值分别为5、8．

故答案为：5  8．

【解答】解：设等比数列的公比为，

，，

，

解得

故答案为：

【解答】解：点在直线位于第一象限内的图象上运动

，，，

，

当且仅当时“”成立．

故答案为：．

【解答】解：令，

，

函数是奇函数，

时，，

函数在递减，

又由题意得：，，

故函数在递减，

故

，

即，

，

，解得：，

故答案为：，．

三、解答题

【解答】解：（1），

则，

则，，

则．

（2），

，

则，

又，

得．

【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件；

从45名同学中任选一名有45种选法，基本事件数为45；

通过列表可知事件的基本事件数为；

这是一个古典概型，（A）；

（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；

从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有，即基本事件总数为15；

设“被选中，而未被选中”为事件，显然事件包含的基本事件数为2；

这是一个古典概型，．

【解答】解：（1）证明：在图甲中且，

即（2分）

在图乙中，平面平面，且平面平面

底面，．（4分）

又，，且

平面．（5分）

（2）解法、分别为、的中点

，又由（1）知，平面，

平面，垂足为点

是与平面所成的角（7分）

在图甲中，，，

设则，，   （9分）

在中，

即与平面所成角的正弦值为．（10分）

解法2：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如下图示，

设，则，，（6分）

可得，0，，，0，，，0，，，，0，，

，（8分）

设与平面所成的角为

由（1）知平面

（10分）

（3）由（2）知平面，

又平面，平面，，，

为二面角的平面角（12分）

在中，

即所求二面角的余弦为．（14分）（其他解法请参照给分）

【解答】解：（1）由，得．

当时，．

适合上式，

；

（2），

设数列的前项和为，

则

．

【解答】解：（1）设椭圆的方程为．

根据题意知，解得，

故椭圆的方程为．

（2）由，得，所以，得椭圆的方程为．

当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由，得．

设，，，，则

，

因为，所以，即

，解得，即．

故直线的方程为或．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，，，

而，，故，，，，

从而，，，；

（Ⅱ）由知，，

设，

则，

由题设得，即，

令，得，，

①若，则，从而当时，，当，时，，

即在上减，在，上是增，故在，上的最小值为，

而，时，即恒成立．

②若，则，从而当时，，

即在上是增，而，故当时，，即恒成立．

③若时，，

而，所以当时，不恒成立，

综上，的取值范围是，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2019/12/17 21:14:22；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267