2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）双曲线的左焦点坐标为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，满足，，且，则，的夹角大小为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知等差数列满足，公差，且，，成等比数列，则　　

A．4 B． C． D．

4．（5分）直线被圆截得的弦长为2，则的值为　　

A．0 B． C． D．

5．（5分）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为　　

A．6 B．7 C．8 D．12

6．（5分）已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是　　

A．函数的值域与的值域相同 

B．若是函数的极值点，则是函数的零点 

C．把函数的图象向右平移个单位，就可以得到函数的图象 

D．函数和在区间上都是增函数

8．（5分）已知集合，，，．若，且对任意的，，均有，则集合中元素个数的最大值为　　

A．25 B．49 C．75 D．99

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为　　．

10．（5分）执行如图所示的程序框图，当输入的值为15，值为4时，输出的值为　　．

11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为　　，　　．

12．（5分）设关于，的不等式组表示的平面区域为，若点，，中有且仅有两个点在内，则的最大值为　　．

13．（5分）在中，，且，则　　．

14．（5分）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面．

（Ⅰ）当点与点重合时，线段的长度为　　；

（Ⅱ）线段长度的最小值为　　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（13分）已知函数

（Ⅰ）比较和的大小；

（Ⅱ）求函数在区间的最小值．

16．（13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

（Ⅱ）从图中考核成绩满足，的学生中任取3人，设表示这3人重成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．

17．（14分）在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，

且，，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．

18．（14分）椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若点关于轴的对称点为’，求的取值范围．

19．（13分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：对任意成立．

20．（13分）设为不小于3的正整数，集合，，，，，2，，，对于集合中的任意元素，，，，，，，

记

（Ⅰ）当时，若，1，，请写出满足的所有元素

（Ⅱ）设，且，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，，有成立，求集合中元素个数的最大值．

2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

【解答】解：双曲线可得，则，

所以双曲线的左焦点坐标．

故选：．

【解答】解：设，的夹角为，

，，，

，又，

故选：．

【解答】解：等差数列满足，公差，且，，成等比数列，

可得，

即为，

即，解得舍去），

故选：．

【解答】解：由垂径定理得圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式得，

故，解得

故选：．

【解答】解：根据题意，如图正六边形，分2种情况讨论：

①，包含正六边形2条边的等腰三角形：有，，，，，，共6个；

②，由正六边形的对角线构成的等腰三角形：有，，共2个；

则等腰三角形一共有个；

故选：．

【解答】解：“函数在区间上存在零点”等价于“方程在有解”，

即方程在有解，

设，，

易知：，为增函数，

则，，

则，

即，

故“”是“函数在区间上存在零点”的充要条件，

故选：．

【解答】解：函数，，

对于，，，两函数的值域相同，都是，，正确；

对于，若是函数的极值点，则，；

解得，；，

，

也是函数的零点，正确；

对于，把函数的图象向右平移个单位，

得，错误；

对于，时，，，是单调增函数，

，也是单调增函数，正确．

故选：．

【解答】解：，，，，，，，，．

中共有99个元素．

把，看作平面直角坐标系上的点，若，

点与点的相对位置为一点在另一点的正右方，正下方，或右下方．

要使中的元素尽量多，选，下一个点在的右方或下方，

右方和下方个49种，

中元素最多有．

故选：．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

【解答】解：因为抛物线的焦点为圆心即，与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．

所求圆的方程为：．

故答案为：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，

，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

此时，满足条件，退出循环，输出的值为16．

故答案为：16．

【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥，把该三棱锥放入直三棱柱中，

则该三棱柱的侧面侧面，

如图所示；

则这个三棱锥中最长的棱是，

且；

最短的棱是，且．

故答案为：，2．

【解答】解：，的不等式组表示的平面区域为，如图：

直线恒过点，

点，，中有且仅有两个点在内，

可知的最大值为：0．

故答案为：0．

【解答】解：中，，且，．

再由正弦定理可得，

即，则，

故答案为：．

【解答】解：（Ⅰ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，，，当点与重合时，，1，，，1，，，0，，

，，，，，，，，，

平面．

，解得，，

，1，，

线段的长度为．

故答案为：．

（Ⅱ）设，则，1，，，1，，，0，，

，，，，，，，，，

平面．

，解得，，

，，，

，

当，即是中点时，线段长度取最小值为．

故答案为：．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

【解答】解：（Ⅰ）因为，，

所以，

当，，所以，

当，，所以，

当，，所以；

（Ⅱ）因为，

设，，所以，，

所以，，，

其对称轴为，

当，即   时，在时函数取得最小值，

当，即时，在时函数取得最小值，

当，即   时，在时函数取得最小值．

【解答】解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，

所以所求概率（A）约为．

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，

因为成绩，的学生共有8人，其中满足的学生有5人，

所以，，，，

随机变量的分布列为：

．

（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个

所以，

所以可以认为此次冰雪培训活动有效．

【解答】解：（Ⅰ）证明：在平面中过点作，交于，

因为平面平面，平面，

平面平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

又，且，

所以平面．

（Ⅱ）因为平面，所以，

又，，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

所以，

因为平面，所以取平面的法向量为，

设平面的法向量为，

因为，所以，

所以，

令，则，所以，

所以，

由题知为锐角，所以的余弦值为．

（Ⅲ）

证明：法一：

假设棱上存在点，使得，显然与点不同，

所以，，，四点共面于，

所以，，

所以，，

所以就是点，，确定的平面，所以，

这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证．

法二：

假设棱上存在点，使得，

连接，取其中点，

在中，因为，分别为，的中点，所以，

因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合，

所以点在线段上，所以是，的交点，即就是，

而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证．

【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以，

所以离心率．

（Ⅱ）法一：

设，，，，

显然直线存在斜率，设直线的方程为，

所以，所以△，所以，

所以，

因为，，

所以，

因为，

所以，

因为，所以．

法二：

设，，，，

当直线是轴时，，

当直线不是轴时，设直线的方程为，

所以，所以，△，所以，

所以，

因为，，

所以，

因为，

所以，

因为，所以，

综上，的取值范围是．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以，

当时，，

所以，而，

曲线在，（1）处的切线方程为，

化简得到；

（Ⅱ）法一：

因为，令，

得，

当时，，，在区间的变化情况如下表：

所以在，上的最小值为，中较小的值，

而，所以只需要证明，

因为，所以，

设，其中，所以，

令，得，

当时，，，在区间的变化情况如下表：

所以在上的最小值为，而，

注意到，所以，问题得证；

法二：

因为“对任意的，”等价于“对任意的，”

即“，”，故只需证“，”

设，所以，

设，，

令，得，

当时，，，在区间的变化情况如下表：

所以，上的最小值为（1），而（1），

所以时，，所以在上单调递增，

所以，

而，所以，问题得证．

法三：

“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”，

因为，令，

得，

当时，，，在在上的变化情况如下表：

所以在，上的最小值为，中较小的值，

而，所以只需要证明，

因为，所以

注意到和，所以，

设，其中，

所以

当时，，所以单调递增，所以，

而，

所以，问题得证，

法四：

因为，所以当时，

设，其中，

所以，

所以，，的变化情况如下表：

所以在时取得最小值，而，

所以时，

所以．

【解答】解：（Ⅰ），，1，，且．

的元素为，0，，，0，，，1，，，1，．

（Ⅱ）记，，，，，，，，

注意到，，所以，

所以，

因为，所以．

所以，，，，，，，中有个量的值为1，个量的值为0．

显然，

当，1，，，，0，，时，，满足，．所以的最大值为．

又．

注意到只有时，，否则．

而，，，，，，，中个量的值为1，个量的值为0．

所以满足这样的元素至多有个，

当为偶数时，．

当时，满足，且．

所以的最小值为．

当为奇数时，且，这样的元素至多有个，

所以．

当，时，满足，．

所以的最小值为．

综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，．

（Ⅲ）设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个．

记，，，，，，，，，．

显然，．

集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个，，，，，则．

则，，，中至少存在两个元素，，，，，．

因为，所以，不能同时为0．

所以对中的一组数，而言，

在集合中至多有一个元素，，，满足，同时为0．

所以集合中元素个数不超过个．

所以集合中的元素个数为至多为．

记，，，，，则中共个元素，

对于任意的，，．

对，记，，，，其中，，，．

记，

显然，，，均有．

记，中的元素个数为，且满足，，，均有．

综上所述，中的元素个数最大值为．

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日期：2019/12/17 21:14:15；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267