2018-2019学年天津市滨海新区七所重点高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年天津市滨海新区七所重点高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题

1．（3分）已知集合，或，则　　

A．或 B． 

C． D．或

2．（3分）实数，满足不等式组则目标函数的最小值是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（3分）执行如图的程序框图，则输出的为　　

A． B． C． D．

4．（3分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知集合，集合，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（3分）若将偶函数的图象向右平移个单位长度，则函数的对称轴为　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．（3分）设双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为，，过作平行于的直线交双曲线和直线于点，．若，则双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．

8．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

二、填空题

9．（3分）若复数是纯虚数，则实数的值为　 　．

10．（3分）若的展开式中的常数项为1760，则实数　　．

11．（3分）在极坐标系中，直线与圆相切，则　　．

12．（3分）若正四棱锥的底面边长为2，它的体积为，则它的侧面积为　　．

13．（3分）设，，若与的等差中项是1，则的最小值为　　．

14．（3分）在中，已知，，为线段上的点，且，

则的最小值为　　．

三、解答题

15．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角中，角，，的对边分别为，，，（A），且的面积为3，，求的值．

16．某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．

（Ⅰ）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；

（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列及其数学期望．

17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，都是等边三角形，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

18．已知数列满足，数列满足．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和；

（Ⅲ），求对任意的正整数都有成立的的取值范围．

19．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆的左焦点与轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在且，求实数的取值范围．

20．已知函数，（其中是自然对数的底数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：对任意正整数，都有．

2018-2019学年天津市滨海新区七所重点高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

【解答】解：在数轴上画出集合，或，

则或．

故选：．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

由，得，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

可得．

故选：．

【解答】解：，，，

．

故选：．

【解答】解：当时，由得，即，得，此时，

当时，由得，即，得，此时，

当时，由得，即，此时，

综上不等式的解为，即，

，，

则，

即“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【解答】解：函数为偶函数，关于轴对称，

，即，

，，

，

将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

令，求得，，

则函数的对称轴为，，

故选：．

【解答】解：可设，，，

直线，

由可得，，

设，

由，即，，

则，，即，，

将的坐标代入双曲线的方程，可得

，

即有，

解得．

故选：．

【解答】解：设，则，

由，解得，

当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．

当时，函数取得极大值也是最大值为（e）．

方程有5化为．

解得或．

如图画出函数图象：，

故选：．

二、填空题

【解答】解：复数是纯虚数，

设，，

则，

则，

解得，

故答案为：

【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，

可得它的常数项为，则实数，

故答案为：8．

【解答】解：在极坐标系中，直线，

直线的直角坐标方程为，

圆，即，

，即，

圆的圆心为，半径，

直线与圆相切，

圆心到直线的距离，

解得．

故答案为：．

【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，它的体积为，

，

高，，

，

它的侧面积为．

故答案为：8．

【解答】解：与的等差中项是1，

，

，

，

故答案为：

【解答】解：中设，，，

，

，

即，

，，，，

，，

，，

，根据直角三角形可得，，，

，，，

以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，，，，

为线段上的一点，则存在实数使得，，

设，，则，，，

由，，，，

，，则，

可得，

，，，

可解得：的最小值为．

故答案为：．

三、解答题

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，

，

函数的最小正周期，

由，，解得，，，

故函数的单调递增区间为，．

（Ⅱ）由可得（A），

．

，

．

从而，

，

又，

，

又，

，

．

【解答】解：（Ⅰ）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，

环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，

现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．

基本事件总数，

恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数，

恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率．

（Ⅱ）“环保宣传”被这4名学生选择的人数的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

的分布列为：

．

【解答】证明：（Ⅰ）连结，，交于，连结，

在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，

都是等边三角形，点是的中点．

，

平面，平面，

平面；

解：（Ⅱ）取中点，中点，连结，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，，，2，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设二面角的平面角为，

则．

由二面角的平面角为钝角，

二面角的余弦值为．

（Ⅲ），，，

平面的法向量，

点到平面的距离：．

【解答】解：（Ⅰ）数列满足，

可得，可得；

时，，

相减可得，

即有，

可得；

；

（Ⅱ），

前项和，

，

相减可得

，

化简可得；

（Ⅲ），对任意的正整数都有成立，

即有，

由，可得数列递减，

可得的最大值为2，

即有，即，对恒成立，

即有的最小值，

由，当且仅当时取得等号．

则．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为

且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，

，

，

，

椭圆的方程；

（Ⅱ）设过椭圆的左焦点与轴不垂直的直线为，设，，，

联立方程组，消可得，

△，

，，

，

解得，

故直线方程为，即，

（Ⅲ）设的中点为，并设为，，由（Ⅱ）可知，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，．

【解答】解：（Ⅰ）由知：

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数是常数函数，无单调区间．

（Ⅱ）由，，，

①当时，恒成立，在，上递增，，，解得；

②当时，在，上递减，在递增，时，，

，解得，

综上所述：实数的取值范围是，；

（Ⅲ）容易证明：时，，

两边取对数得，令，

则有，

所以，

，

即．

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日期：2019/12/17 21:16:18；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267