2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，共8×5＝40分）
1．（5分）（2019•红桥区一模）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（　　）
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
2．（5分）（2018秋•潍坊期末）双曲线方程为1，则渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．yx
3．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（　　）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2
4．（5分）（2010•天津）i是虚数单位，复数（　　）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
5．（5分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）（2017•山西二模）函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，共6×5＝30分）
9．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）复数z＝1﹣2i（其中i为虚数单位）的虚部为　 　．
10．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为　 　．
11．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）抛物线x2＝4y上的点到其焦点的最短距离为　 　．
12．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，则a的取值范围是　 　．
13．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）在下列四个命题：
①∀x∈R，x2+3x+1＞0；
②∀x∈Q，x2x+1是有理数；
③∃α，β∈R，使sin（α+β）＝sinα+sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10
真命题的序号是　 　．
14．（5分）（2017•石景山区一模）已知．
①当a＝1时，f（x）＝3，则x＝　 　；
②当a≤﹣1时，若f（x）＝3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a＝　 　．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设命题p：y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R；命题q：复数z＝a﹣1+（a﹣2）i（a∈R）表示的点在第四象限．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
16．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c．已知3cosA﹣2＝0，sin（A+C）cos C．
（I）求tanC的值；
（II）若a＝2，求△ABC的面积．
17．（13分）（2016秋•通州区期末）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝2AD，M，N分别为PB，PC中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；
（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

18．（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax．
（I）若a＝0，求曲线y＝f（x）在 （0，f （0））处的切线方程；
（II）若f（x）在[0，]上为单调函数，求a的取值范围．
19．（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）长轴为AB，如图所示，直线l：x＝2与椭圆相切与B点，且椭圆的离心率为e．
（I）求椭圆方程；
（II）设P点为椭圆上的动点，过P做x轴的垂线，垂足为H，延长HP到Q，使得|PH|＝|PQ|，直线AQ与直线l交于点M，N为线段MB的中点，判断直线QN与以AB为直径的圆的位置关系，并给出证明．

20．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设{an}为至少有三项的有限数列，若它满足：
①0≤a1＜a2＜…＜an
②∀i，j∈N*，1≤i≤j≤n，aj+ai与aj﹣ai至少有一个是数列{an}中的某一项则称该数列为B﹣数列
（I）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6是否为B﹣数列．
（II）设数列a1，a2，…an是B﹣数列，求证
（III）求证：“数列a1，a2，…an为B﹣数列”是“a1，a2，…an是等差数列”的充分不必要条件．

2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，共8×5＝40分）
1．（5分）（2019•红桥区一模）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（　　）
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
【考点】2H：全称量词和全称命题；2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】29：规律型．
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解
【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，
∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1
故选：A．
【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题
2．（5分）（2018秋•潍坊期末）双曲线方程为1，则渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．yx
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，即 ，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．
3．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（　　）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．
【分析】由指数函数的值域，可判断A；由完全平方数非负，可判断B；
由x，lgx＜0，可判断C；由tanx＝2可得x＝kπ+arctan2，k∈Z，可判断D．
【解答】解：由指数函数的值域可得，∀x∈R，2x﹣1＞0，即A正确；
∀x∈R，（x﹣1）2＞0，不正确，比如x＝1，则（x﹣1）2＝0，则B不正确；
∃x∈R，lg x＜1，正确，比如x，lgx＜0，即C正确；
由tanx＝2可得x＝kπ+arctan2，k∈Z，则D正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用指数函数的值域和对数函数的性质、正切函数的性质，考查判断能力，属于基础题．
4．（5分）（2010•天津）i是虚数单位，复数（　　）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题．
5．（5分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的图形，利用三视图的数据求解最大侧面面积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，
四棱锥的4个侧面面积分别为：；；；．
最大侧面面积为：．
故选：C．

【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面面积，考查数形结合以及空间想象能力计算能力．
6．（5分）（2017•山西二模）函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由题意知函数f（x）＝log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，
f（1）＝0+1﹣2＜0；
f（2）＝1+2﹣2＞0；
故函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在的区间是（1，2）；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
7．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】问题转化为y＝﹣x和y＝sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．
【解答】解：若x+sinx＞0，
只需y＝﹣x的图象在y＝sinx的下方即可，
画出函数y＝﹣x和y＝sinx的图象，如图示：
，
由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．
8．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，则A1D⊥EF，再由已知正方体可得DC⊥EF，得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，得到当P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF，进一步得到当P与D重合时，A1P有最小值为，当P与C重合时，A1P有最大值为．
【解答】解：如图，
连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，
∴A1D⊥EF，
又DC⊥EF，可得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，
∴当P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF，
当P与D重合时，A1P有最小值为，当P与C重合时，A1P有最大值为．
∴线段A1P长度的取值范围是[]．
故选：D．

【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属中档题．
二、填空题（共6小题，共6×5＝30分）
9．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）复数z＝1﹣2i（其中i为虚数单位）的虚部为　﹣2　．
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的概念即可得到答案．
【解答】解：数z＝1﹣2i的虚部为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的基本概念，属于基础题．
10．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为　“若x2≤0，则x＝0”　．
【考点】21：四种命题．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．
【解答】解：命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为
“若x2≤0，则x＝0”．
故答案为：“若x2≤0，则x＝0”．
【点评】本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．
11．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）抛物线x2＝4y上的点到其焦点的最短距离为　1　．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的定义与性质，结合图象求出抛物线上的点到其焦点的最短距离．
【解答】解：设抛物线x2＝4y上的点为P（x，y），y≥0；
则点P到其焦点F（0，1）的距离，等于到其准线y＝﹣1的距离，
∴d＝|y﹣（﹣1）|＝|y+1|≥1，
∴最短距离为1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题．
12．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，则a的取值范围是　a　．
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；47：判别式法；59：不等式的解法及应用．
【分析】利用判别式求出不等式ax2﹣x+1＞0恒成立时a的取值范围．
【解答】解：对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，
∴，
即，
解得a；
∴a的取值范围是a．
故答案为：a．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．
13．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）在下列四个命题：
①∀x∈R，x2+3x+1＞0；
②∀x∈Q，x2x+1是有理数；
③∃α，β∈R，使sin（α+β）＝sinα+sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10
真命题的序号是　②③④　．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】举例说明①错误，③④正确；利用有理指数幂的运算性质说明②正确．
【解答】解：当x＝﹣1时，x2+3x+1＝﹣1＜0，故①为假命题；
∀x∈Q，x2x+1是有理数，故②为真命题；
取α＝2kπ（k∈Z），则sin（α+β）＝sinα+sinβ成立，故③为真命题；
取x＝10，y＝10，则使3x﹣2y＝10成立，故④为真命题．
综上可得：②③④是真命题．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了命题真假的判断、实数的理论及其三角函数，考查了推理能力，属于中档题．
14．（5分）（2017•石景山区一模）已知．
①当a＝1时，f（x）＝3，则x＝　4　；
②当a≤﹣1时，若f（x）＝3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a＝　　．
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．
【分析】①当a＝1时，f（x）＝3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；
②由f（x）＝3，求得x＝﹣1，或 x＝4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）＝3，由此求得a的值．
【解答】解：①x≥1，x3，可得x＝4；x＜1，2﹣（x）＝3，即x2+x+4＝0无解，故x＝4；
②由于当x＞a时，解方程f（x）＝3，可得x3，求得x＝﹣1，或 x＝4．
∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2＝﹣1，x3＝4，x1 ＝﹣6，∴a≤﹣1．
∴x＜a时，方程f（x）＝3只能有一个实数根为﹣6，
再根据f（﹣6）＝2a+63，求得a，满足a≤﹣1．
故答案为4，．
【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设命题p：y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R；命题q：复数z＝a﹣1+（a﹣2）i（a∈R）表示的点在第四象限．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．
【解答】解：若y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R，则x2+（a﹣1）x+1＞0恒成立，
即判别式△＝（a﹣1）2﹣4＜0，得（a﹣1）2＜4，得﹣2＜a﹣1＜2，即﹣1＜a＜3，即p：﹣1＜a＜3，
若复数z＝a﹣1+（a﹣2）i（a∈R）表示的点在第四象限．
则，得，即1＜a＜2，即q：1＜a＜2，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p，q一个真，一个假，
若p真q假，则，得2≤a＜3或﹣1＜a≤1，
若p假q真，则，此时无解，
综上实数a的取值范围是2≤a＜3或﹣1＜a≤1．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的求解，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
16．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c．已知3cosA﹣2＝0，sin（A+C）cos C．
（I）求tanC的值；
（II）若a＝2，求△ABC的面积．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）推导出sinA，由正弦加法定理得sinAcosC+cosAsinC，从而cosC，由此能求出tanC．
（II）由正弦定理得：，从而求出c，再由余弦定理求出b＝2，由此能求出△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c．
3cosA﹣2＝0，sin（A+C）cos C．
∴cosA，sinA，
sinAcosC+cosAsinC，
∴cosC，
∴，
解得tanC．
（II）∵tanC，∴sinC，
由正弦定理得：，
∴c，
∵a＝2，∴cosA，即，
解得b＝2，
∴△ABC的面积：
S．
【点评】本题考查角的正切值的求法，考查三角形的面积的求法，考查正弦加法定理、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17．（13分）（2016秋•通州区期末）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝2AD，M，N分别为PB，PC中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；
（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．
（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的大小．
（Ⅲ）设E（1，λ，0），则，由此利用向量法能求出在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD
所以MN∥平面PAD．…．（4分）
解：（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），
M（，0，），
B（1，0，0），N（，，），
则，
设平面CAM法向量为，
由，得，
令x1＝1，则，即
平面ABM法向量
所以，二面角B﹣AM﹣C的余弦值
因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角，
所以二面角B﹣AM﹣C等于45°…．（10分）
（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN…．（11分）
设E（1，λ，0），则，
由可得，
所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，
此时．…．（14分）

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax．
（I）若a＝0，求曲线y＝f（x）在 （0，f （0））处的切线方程；
（II）若f（x）在[0，]上为单调函数，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意，将a＝0代入函数解析式，可得f（x）＝exsinx，计算可得f（0）＝0，即可得切点的坐标，求出f（x）的导数计算f′（0）的值，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，求出f（x）的导数，设g（x）＝f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，求出g（x）的导数，分析可得g（x）在区间[0，]上为增函数，据此可得g（x）的最值，由函数的导数与单调性的关系可得g（x）≥0或g（x）≤0在[0，]上恒成立，分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，a＝0时，f（x）＝exsinx，
则f（0）＝0，即切点的坐标为（0，0），
f′（x）＝exsinx+excosx＝ex（sinx+cosx），则f′（0）＝1，即切线的斜率为1，
则切线的方程为y＝x，
（Ⅱ）函数f（x）＝exsinx﹣ax，则f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，
令g（x）＝f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，
则g′（x）＝2excosx，
又由x∈[0，]，则g′（x）≥0，则函数g（x）为增函数，则g（x）的最小值为g（0）＝1﹣a，g（x）的最大值为g（）a，
若f（x）在[0，]上为单调函数，则g（x）≥0或g（x）≤0在[0，]上恒成立；
若g（x）≥0恒成立，则有1﹣a≥0，必有a≤1；
若g（x）≤0恒成立，则有a≤0，必有a，
综合可得：a的取值范围为（﹣∞，1]∪[，+∞）
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算函数的切线方程，注意对a的值进行分情况讨论．
19．（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）长轴为AB，如图所示，直线l：x＝2与椭圆相切与B点，且椭圆的离心率为e．
（I）求椭圆方程；
（II）设P点为椭圆上的动点，过P做x轴的垂线，垂足为H，延长HP到Q，使得|PH|＝|PQ|，直线AQ与直线l交于点M，N为线段MB的中点，判断直线QN与以AB为直径的圆的位置关系，并给出证明．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设P（x0，y0）代入椭圆方程，进而表示出Q的坐标，求得|OQ|推断出Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．根据点A的坐标表示出直线AQ的方程，令x＝0，表示出M和N的坐标，代入•求得结果为0，进而可推知OQ⊥QN，推断出直线QN与圆O相切．
【解答】解：（I）由题意可得a＝2，e，
可得c，b1，
则椭圆方程为y2＝1；
（II）设P（x0，y0），则y02＝1，
∵HP＝PQ，∴Q（x0，2y0）．
∴OQ2，
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．
即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（﹣2，0），
∴直线AQ的方程为y（x+2），
令x＝2，得M（2，）．
又B（2，0），N为MB的中点，
∴N（2，），
∴（x0，2y0），（x0﹣2，），
∴•x0（x0﹣2）+2y0•x0（x0﹣2）
＝x0（x0﹣2）+x0（2﹣x0）＝0，
即OQ⊥NQ，
∴直线QN与圆O相切．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了考生综合分析问题和基本的运算能力，属于中档题．
20．（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设{an}为至少有三项的有限数列，若它满足：
①0≤a1＜a2＜…＜an
②∀i，j∈N*，1≤i≤j≤n，aj+ai与aj﹣ai至少有一个是数列{an}中的某一项则称该数列为B﹣数列
（I）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6是否为B﹣数列．
（II）设数列a1，a2，…an是B﹣数列，求证
（III）求证：“数列a1，a2，…an为B﹣数列”是“a1，a2，…an是等差数列”的充分不必要条件．
【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）由题意判断①是B﹣数列，②是B﹣数列；
（Ⅱ）根据B﹣数列的定义，推理并计算a1+a2+a3+…+an（a1+an）；
（III）B﹣数列a1，a2，…，an构成等差数列，
举例说明等差数列a1，a2，…，an不一定是B﹣数列．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，数列单调递增，且对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的项，
对于①数列1，2，4；单调递增，且满足a3﹣a2＝4﹣2＝2是该数列中的数，∴是B﹣数列；
②数列0，2，4，6；单调递增，且满足aj+ai与aj﹣ai（1≤i≤j≤3）都是该数列中的项，
∴数列0，2，4，6是B﹣数列；
（Ⅱ）证明：令j＝n，i＞1，则由“ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于B﹣数列”，
∴ai+aj不属于B﹣数列，an﹣ai属于B﹣数列；
令i＝n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合B﹣数列中某一项，a1不行，a2可以；
如果是a3或者a4，那么可知an﹣a3＝an﹣1，那么an﹣a2＞an﹣a3＝an﹣1，只能是等于an，矛盾；
所以令i＝n﹣1可以得到an＝a2+an﹣1，
同理，令i＝n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an＝ai+an+1﹣i，
∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an（a1+an）；
（III）证明：由（Ⅱ）可知，an＝ai+an+1﹣i，（i＝1，2，…，n）；
∴an﹣1＝ai+an﹣i，
∴an﹣an﹣1＝an+1﹣i﹣an﹣i，（i＝1，2，3，…，n）；
∴a1，a2，…，an构成等差数列；
若数列a1，a2，…an为等差数列，
则是“a1，a2，…an不一定是B﹣数列，
如0，1，3是等差数列，但不是B﹣数列，
∴是充分不必要条件．
【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了数列与应用问题，是难理解的题目．

考点卡片
1．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．

【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
4．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．

【全称命题】
含有全称量词的命题．“对 xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题 xM，p（x）
特称命题 xM，p（x）

表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立
②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立
③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立
④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立
⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．

命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
5．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
6．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
7．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
8．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
9．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
0⇔f（x）•g（x）＞0；

0⇔f（x）•g（x）＜0；

0⇔；

0⇔．
12．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
13．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．

【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

15．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA
cosB
cosC
正弦定理
2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA，sinB，sinC
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△ahabhbchc
②S△absinCacsinBbcsinA
③S△
④S△，（s（a+b+c））；
⑤S△（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA
sinB＝

sinC
16．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e（0＜e＜1）
e（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
17．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

18．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
19．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
20．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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