2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）椭圆的短轴长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（4分）设复数z满足（1+i）2•z＝2+i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α∥β
D．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
4．（4分）有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”的逆否命题；
其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（4分）已知m，n∈R，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．||﹣||＜||是向量，不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面
7．（4分）若椭圆1（a1＞b1＞0）与双曲线1（a2＞0，b2＞0）有公共的焦点F1，F2，点P是两条曲线的交点，∠F1PF2，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e2＝1，则e1＝（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知P为双曲线：1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|＝|PF|，∠PFA，则点F到直线PA的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2，现将△ABD沿BD折起，当二面角A﹣BD﹣C的大小在[]时，直线AB和CD所成角为α，则cosα的最大值为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝CC1，E，F，G分别为AD，AB，C1D1上的点，AE＝ED，AF＝FB，（λ≥4）分别记二面角G﹣EF﹣D1，G﹣EF﹣C，G﹣FB﹣C的平面角为α，β，γ，则（　　）
A．γ＜β＜α B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β D．与λ的值有关
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。
11．（6分）双曲线1的焦点坐标是　 　，渐近线方程是　 　．
12．（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，记xyz，则 （x，y，z）＝　 　，若⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，则||＝　 　．

13．（6分）设复数z＝（）2018+（）2019，其中i为虚数单位，则的虚部是　 　，|z|＝　 　．
14．（6分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是　 　，体积是　 　．

15．（4分）已知P（x，y）是抛物线y2＝8x上的点，则x的最大值是　 　．
16．（4分）已知椭圆E：1的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB过左焦点F1，若||≥||恒成立，则椭圆E的离心率的取值范围是　 　．
17．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，AC，BE交于点F，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D'若D′在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部及边界上，则FH的取值范围为　 　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）已知a＞0，设命题p：当x∈[，3]时，函数f（x）＝x恒成立，命题q：双曲线1的离心率e∈（1，3]．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．
19．（15分）如图，在四面体O﹣ABC中，∠AOB＝90°，∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝4．
（Ⅰ）求点C到平面OAB的距离；
（Ⅱ）求异面直线OA与BC所成角的大小．

20．（15分）如图，已知多面体PABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝2BC＝4，AB＝1，PA＝2，∠PAB＝60°．
（1）证明：PB⊥平面ABCD；
（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

21．（15分）已知点P是圆M：（x﹣1）2+y2＝8上的动点，定点N（﹣1，0），线段PN的垂直平分线交PM于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点N作两条斜率之积为的直线l1，l2，l1，l2分别与轨迹E交于A，B和C，D，记得到的四边形ACBD的面积为S，求S的最大值．

22．（15分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：y＝x2外，过点P作抛物线C的两切线，设两切点分别为A（x1，x12），B（x2，x22），记线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求切线PA，PB的方程；
（Ⅱ）证明：线段PM的中点N在抛物线C上；
（Ⅲ）设点P为圆D：x2+（y+2）2＝1上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标．


2018-2019学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）椭圆的短轴长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．
故选：C．
2．（4分）设复数z满足（1+i）2•z＝2+i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，
∴，
∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
3．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α∥β
D．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；
在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m⊥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：A．
4．（4分）有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”的逆否命题；
其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，
可得其否命题不正确；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，
其逆否命题也正确．
故选：C．
5．（4分）已知m，n∈R，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，
对应的焦点坐标为（0，），
若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，
则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，
则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．||﹣||＜||是向量，不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，0
C．在棱长为1的正四面体ABCD中，
D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面
【解答】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；
在空间四边形ABCD中，（）•••
•（）•（）••0，故B正确；
在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；
设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，
由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误．
故选：B．
7．（4分）若椭圆1（a1＞b1＞0）与双曲线1（a2＞0，b2＞0）有公共的焦点F1，F2，点P是两条曲线的交点，∠F1PF2，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e2＝1，则e1＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，
解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，
由∠F1PF2，
可得．
∴，由e1e2＝1，即，
得：，解得：（舍），或，
即．
故选：B．
8．（4分）已知P为双曲线：1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|＝|PF|，∠PFA，则点F到直线PA的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，
|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，
即有P（，（a+c）），
由双曲线的第二定义可得，
（另解：将P的坐标代入双曲线的方程可得1，
由b2＝c2﹣a2）
化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，
可得c＝4a，
由c＝4，可得a，
则点F到PA的距离为（a+c））•5．
故选：D．
9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2，现将△ABD沿BD折起，当二面角A﹣BD﹣C的大小在[]时，直线AB和CD所成角为α，则cosα的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，
∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），
设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则θ∈[]，
∴A（cosθ，0，sinθ），
∴（cosθ，2，sinθ），（﹣2，2，0），
由AB、CD的夹角为α，
则cosα，
∵θ∈[]，∴cosθ∈[，]，则|1cosθ|∈[，]．
∴cosα∈[，]．
即cosα的最大值为，
故选：C．

10．（4分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝CC1，E，F，G分别为AD，AB，C1D1上的点，AE＝ED，AF＝FB，（λ≥4）分别记二面角G﹣EF﹣D1，G﹣EF﹣C，G﹣FB﹣C的平面角为α，β，γ，则（　　）
A．γ＜β＜α B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β D．与λ的值有关
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设λ＝4，则E（，0，0），F（，，0），G（0，，），
D1（0，0，），B（，1，0），C（0，，0），
（，，0），（，，），（，0，），
（，，0），（0，，0），（，，），
设平面EFG的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，），
设平面EFD1的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，），
∴cosα0.935；
平面EFC的法向量（0，0，1），
∴cosβ0.600；
设平面GBF的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，1），
平面BFC的法向量（0，0，1），
∴cosγ0.707．
∴α＜γ＜β．
故选：C．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。
11．（6分）双曲线1的焦点坐标是　（0，）　，渐近线方程是　y＝±2x　．
【解答】解：双曲线1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．
且焦点在y轴上，∴双曲线1的焦点坐标是 （0，），渐近线方程是 y．
故答案为：（0，），y＝±2x
12．（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，记xyz，则 （x，y，z）＝　（）　，若⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，则||＝　　．

【解答】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，
∴


（）

∵xyz，
∴（x，y，z）＝（）．
∵⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，
∴2（）2
2

，
∴||．
故答案为：（），．

13．（6分）设复数z＝（）2018+（）2019，其中i为虚数单位，则的虚部是　1　，|z|＝　　．
【解答】解：∵，，
∴z＝（）2018+（）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，
∴，则的虚部为1．
|z|．
故答案为：1；．
14．（6分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是　15　，体积是　　．

【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：
几何体的表面积：15．
∴几何体的体积V＝1；
故答案为：15；，

15．（4分）已知P（x，y）是抛物线y2＝8x上的点，则x的最大值是　2　．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
由图形知，
x＝|PA|﹣x
＝|PA|﹣（|PM|﹣2）
＝|PA|﹣（|PF|﹣2）
＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+22；
即x的最大值是2．
故答案为：2．

16．（4分）已知椭圆E：1的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB过左焦点F1，若||≥||恒成立，则椭圆E的离心率的取值范围是　（0，]　．
【解答】解：设|AF1|＝m，|BF1|＝n，|AB|＝m+n，
由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣m，|BF2|＝2a﹣n，
由||≥||，两边平方可得
|AF2|2+|BF2|2﹣2•|AF2|2+|BF2|2+2•，
可得•0，即有cos∠AF2B≤0，
由余弦定理可得|AF2|2+|BF2|2≤|AB|2，
可得（2a﹣m）2+（2a﹣n）2≤（m+n）2，
即为8a2﹣4a（m+n）≤2mn，
解得m+n≥4（1）a，
又AB⊥x轴时，AB取得最小值，
可得4（1）a，
即2（1）a2≤b2＝a2﹣c2，
即c≤（1）a，
由e（0＜e＜1），
则e的范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
17．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，AC，BE交于点F，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D'若D′在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部及边界上，则FH的取值范围为　[]　．

【解答】解：
如图，M为AB中点，
∵矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，
∴AMED，MBCE均为正方形，
可知在旋转过程中，AE⊥平面D′NM，
∴D′在平面ABCD上的投影H落在线段MN上，
故FH的最小值为FG，
最大值为FN的长，
FN的长可由下列方法求得：
法1：在Rt△NEF中，NE，
∵EF：BF1：2，
∴，
由勾股定理求得FN；
法2：
以M为原点建立坐标系，可知N（﹣1，1），
直线AC的方程为：y，
直线BE的方程为：y＝﹣x+2，
联立可得F（），
∴FN，
故答案为[]．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）已知a＞0，设命题p：当x∈[，3]时，函数f（x）＝x恒成立，命题q：双曲线1的离心率e∈（1，3]．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）命题p为真命题，即当x∈[，3]时，函数f（x）＝x恒成立，
由y＝x2，当且仅当x＝1时，y取得最小值2，即有2，解得a；
（Ⅱ）双曲线1的离心率e∈（1，3]，可得∈（1，3]，
解得a≥1，
命题p和q中有且只有一个是真命题，
可得p真q假，可得a且0＜a＜1，即a＜1：
p假q真，可得0＜a且a≥1，即为a∈∅，
综上可得a的范围是（，1）．
19．（15分）如图，在四面体O﹣ABC中，∠AOB＝90°，∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝4．
（Ⅰ）求点C到平面OAB的距离；
（Ⅱ）求异面直线OA与BC所成角的大小．

【解答】解：（Ⅰ）作CH⊥平面OAB于H，连接OH，
作HE⊥OA于E，HF⊥OB于F，连接CE，CF，
∴AO⊥平面CEH，BO⊥平面CFH，
∴CE⊥OA，CF⊥OB，则△CEO≌△CFO．
∵OE＝OF，四边形OEHF为正方形，∴OH是∠AOB的角平分线，
∴cos∠COE＝cos∠COH•cos∠EOH．
∴，即cos∠COH，则∠COH＝45°．
∴CH＝4；
（Ⅱ）记，，，则，
记θ，
∵，
又，
，
∴cosθ，即θ＝60°．
∴异面直线OA与BC所成角的大小为60°．

20．（15分）如图，已知多面体PABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝2BC＝4，AB＝1，PA＝2，∠PAB＝60°．
（1）证明：PB⊥平面ABCD；
（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）在△PBA中，PA＝2，AB＝1，∠PAB＝60°，
∴PB2＝4+1﹣2×2×1×cos60°＝3，∴PB，
∴PB2+AB2＝PA2，∴PB⊥AB，
∵AD∥BC，∴A，B，C，D四点共面，
又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB，
又PB⊥AB，AD∩AB＝A，
∴PB⊥平面ABCD．
解：（2）在Rt△PBC中，PC，在Rt△PAD中，PD＝2，
在直角梯形ABCD中，CD，
在△PDC中，cos∠PDC，
sin∠PCD，S△ACD2，
设直线PA与平面PCD所成角为θ，设点A到平面PCD的距离为h，
∵VA﹣PDC＝VP﹣ACD，∴，
即，
解得h，sinθ，
∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为．

21．（15分）已知点P是圆M：（x﹣1）2+y2＝8上的动点，定点N（﹣1，0），线段PN的垂直平分线交PM于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点N作两条斜率之积为的直线l1，l2，l1，l2分别与轨迹E交于A，B和C，D，记得到的四边形ACBD的面积为S，求S的最大值．

【解答】解：（1）线段PN的垂直平分线交PM于点Q，
∴|QN|＝|QP|，
∴|QM|+|QN|＝|QP|+|QM|＝|MP|＝2|MN|＝2
∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
∴2a＝2，2c＝2，
∴a，c＝1，b＝1，
∴点Q的轨迹E的方程为y2＝1，
（Ⅱ）设其中的一条直线AB的方程为y＝k（x+1）代入椭圆方程可得，
（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
∴|AB|，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则CD的方程为y（x+1），
即x＝2ky﹣1，代入椭圆方程可得（4k2+2）y2+4ky﹣1＝0，
则|y1﹣y2|
设C，D到直线AB的距离分别为d1和d2，
则d1+d2，
∴S|AB|（d1+d2）2222，
当k2时取等号

22．（15分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：y＝x2外，过点P作抛物线C的两切线，设两切点分别为A（x1，x12），B（x2，x22），记线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求切线PA，PB的方程；
（Ⅱ）证明：线段PM的中点N在抛物线C上；
（Ⅲ）设点P为圆D：x2+（y+2）2＝1上的点，当取最大值时，求点P的纵坐标．

【解答】解：（Ⅰ）∵y＝x2，
∴y′＝2x，
切线PA的方程为y﹣x12＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12，
同理可得，切线PB的方程为y＝2x2x﹣x22，
证明：（Ⅱ）∵点P既在切线PA上，也切线PB上，
由（Ⅰ）可得y0＝2x0x1﹣x12，y0＝2x0x2﹣x22，
故x0，y0＝x1x2，
又点M的坐标为（，），
∴点N的纵坐标为yN（x1x2）＝（）2，
即点N的坐标为（，（）2），
即线段PM的中点N在抛物线C上
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，|AB|，
|PM|，
∴2，
设t＝4y0+1，则，
当t∈[﹣11．﹣3]时，即y0时，取最大值
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日期：2019/12/27 12:24:05；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265