2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为　 　．
2．（5分）（文科）命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是　 　．
3．（理科）已知向量（2，4，5），（3，x，y），若∥，则xy＝　 　．
4．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2（其中F2为椭圆的右焦点）的周长为　 　．
5．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是　 　．
6．（5分）以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是　 　．
7．（5分）函数在[a，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围为　 　．
8．（5分）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是　 　．
9．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0与圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0的位置关系是　 　．
10．（5分）函数f（x）＝x﹣2sinx，x∈[0，π]的最小值为　 　．
11．（5分）与双曲线1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方程是　 　．
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1C1D的体积为　 　．
13．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，则抛物线的焦点为　 　．
14．（5分）已知函数，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1＜x2＜x3），则的取值范围为　 　．
15．（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为　 　．
二、解答题（本大题共4小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF∥平面PDC．

17．（14分）已知△ABC的内角平分线CD的方程为2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
18．（14分）（文科）已知m为实数，命题P：“x≥m是x≥0的充分不必要条件”；命题Q：“若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣m）2+y2＝2有公共点”．若“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，求m的取值范围．
19．（理科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N分別为A1B和B1C1的中点．
（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．


20．（16分）设直线l的方程为x+my﹣1﹣m＝0（m∈R），圆O的方程为x2+y2＝r2（r＞0）．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）当时，直线x+2y﹣t＝0与圆O交于M，N两点，若，求实数t的取值范围．
21．（16分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．
22．（16分）已知函数，a≠0．
（1）当a＝1时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若不等式恒成立，求a的值．

2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为　45°　．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1
所以该直线的斜率k＝1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
∵α∈[0，180°），
∴α＝45°．
故答案为：45°．
2．（5分）（文科）命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是　任意的x∈R，x2+x≥0　．
【解答】解：命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是：任意的x∈R，x2+x≥0，
故答案为：任意的x∈R，x2+x≥0．
3．（理科）已知向量（2，4，5），（3，x，y），若∥，则xy＝　45　．
【解答】解：∵∥，∴存在实数k使得k．
∴，则xy45．
故答案为：45．
4．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2（其中F2为椭圆的右焦点）的周长为　8　．
【解答】解：由椭圆可得a＝2；
椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4．
∴△ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝8．
故答案为：8．
5．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是　①②　．
【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：
在①中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；
在②中，若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；
在③中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；
在④中，α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．
故答案为：①②．
6．（5分）以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是　（x+2）2+（y﹣3）2＝13　．
【解答】解：以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的半径为r，
故圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13，
故答案为：（x+2）2+（y﹣3）2＝13．
7．（5分）函数在[a，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围为　（0，1]　．
【解答】解：由，得f′（x）（x＞0），
函数f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
要使函数在[a，a+1]上单调递减，
则，解得0＜a≤1．
∴实数a的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
8．（5分）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是　（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）　．
【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴a2＞a+12＞0，解得a＞4或﹣12＜a＜﹣3，
∴实数a的取值范围是（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
9．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0与圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0的位置关系是　相交　．
【解答】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0，化为标准方程为（x+3）2+y2＝16，圆心为（﹣3，0），半径为4，
圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0，化为标准方程为x2+（y+3）2＝36，圆心为（0，﹣3），半径为6，
圆心距为3
∵6﹣4＜36+4，
∴两圆相交，
故答案为：相交．
10．（5分）函数f（x）＝x﹣2sinx，x∈[0，π]的最小值为　　．
【解答】解：因为f（x）＝x﹣2sinx，所以f′（x）＝1﹣2cosx，
当0时，f′（x）≤0，
当时，f′（x）≥0，
即函数f（x）在[0，]为减函数，在[，π]为增函数，
故f（x）min＝f（），
故答案为：．
11．（5分）与双曲线1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方程是　　．
【解答】解：与双曲线1有公共的渐近线，
设所求双曲线的方程为m（m≠0），
代入点A（﹣3，2），得m．
则所求双曲线的方程为．
故答案为：．
12．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1C1D的体积为　　．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
∴AD⊥平面BCC1B1，则．
故答案为：．

13．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，则抛物线的焦点为　（0，6）　．
【解答】解：抛物线的准线方程为：y，
圆x2+y2+6y﹣16＝0，可得圆心（0，﹣3），半径为：5，
抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，
可得：，
解得：p＝12．
抛物线x2＝24y，
抛物线的焦点坐标：（0，6）．
故答案为：（0，6）．
14．（5分）已知函数，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1＜x2＜x3），则的取值范围为　（﹣1，0）　．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝xex，
∴f′（x）＝（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（﹣1），
当x→﹣∞时，f（x）→0，当x＝0时，f（0）＝0，
∴当x≤0时，f（x）∈[，0），
分别画出y＝x与y＝xex﹣的图象，如图所示，
∵﹣1＜x2＜0，
∴f（x2）＜0，
当x30时，
∴x3，
∴∈（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．

15．（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为　2　．
【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'
可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，
由∠F1AF2＝90°，可得
m2+n2＝（2c）2，
即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，
化为a2+a'2＝2c2，
则2，
即有2．
故答案为：2．
二、解答题（本大题共4小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF∥平面PDC．

【解答】证明：（1）∵DP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴BC⊥DP，
又底面ABCD为矩形，∴BC⊥DC，
∵DC∩DP＝D，∴BC⊥平面PDC．
解：（2）取PD中点G，∵E为PA的中点，
∴EG∥AD，且EG，
又F为BC中点，四边形ABCD为矩形，
∴FC∥AD，且FC，
∴EG与FC平行且相等，
即四边形EGCF为平行四边形，∴EF∥CG，
又EF⊄平面PDC，CG⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC．

17．（14分）已知△ABC的内角平分线CD的方程为2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
【解答】解：（1）A（1，2）到内角平分线CD：2x+y﹣1＝0的距离为，
（2）由题意可得A关于直线CD的对称点A′在直线BC上，设A′（a，b），
则由，
求得，∴A′（，），
故直线BC即直线A′B为 ，即 9x+2y+11＝0．
把直线CD和直线BC联立方程组可得，
求得，故点C（，）．
18．（14分）（文科）已知m为实数，命题P：“x≥m是x≥0的充分不必要条件”；命题Q：“若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣m）2+y2＝2有公共点”．若“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，求m的取值范围．
【解答】解：当P为真命题时，m＞0，
当Q为真命题时，由直线与圆的位置关系得：，解得：﹣3≤m≤1，
又“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，
即命题P，Q一真一假，
故或，
解得：﹣3≤m≤0或m＞1，
即m的取值范围为：[﹣3，0]∪（1，+∞），
故答案为：[﹣3，0]∪（1，+∞）
19．（理科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N分別为A1B和B1C1的中点．
（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），A1（0，0，2），C（0，2，0），N（1，1，2），
∴（2，0，﹣2），（1，1，2），
设异面直线A1B与NC所成角为θ，
则cos，，
∴异面直线A1B与NC所成角的余弦值为．
解：（2）M（1，0，1），（2，0，﹣2），（﹣1，1，﹣2），（﹣1，2，﹣1），
设（x，y，z）是平面MNC的一个法向量，
则，取y＝1，得（3，1，﹣1），
设A1B与平面NMC所成角的为θ，
则sinθ，
∴A1B与平面NMC所成角的正弦值为．


20．（16分）设直线l的方程为x+my﹣1﹣m＝0（m∈R），圆O的方程为x2+y2＝r2（r＞0）．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）当时，直线x+2y﹣t＝0与圆O交于M，N两点，若，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）直线l的方程整理可得（y﹣1）m+x﹣1＝0，
∴直线l过定点P（1，1），
要直线l与圆O都有公共点，只要P点在圆内或圆上，即12+12≤r2，
又r＞0，∴；
（2）设弦MN的中点为E，则．
由垂径定理可得MN2＝4ME2＝4（OM2﹣OE2），
∴即为OE2≥9（OM2﹣OE2），
则10OE2≥45，即．
又OE2＜5，
∴，即．
21．（16分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，
由椭圆的定义可得，
∴，b2＝a2﹣15＝5，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，
由韦达定理可得，，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，
所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，
则

，
故原命题成立．
22．（16分）已知函数，a≠0．
（1）当a＝1时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若不等式恒成立，求a的值．
【解答】解：（1）①a＝1时，f（x），f′（x），∴f′（1）＝1，又f（1）＝0．
∴函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．
②令f′（x）0，解得x＝e．
x
（0，e）
e
（e，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e），为极小值．
（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．
令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．
g′（x）＝1．
①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立．
③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
综上可得：a＝1．
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日期：2019/12/27 12:22:10；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265