2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）

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2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线2x+y﹣1＝0在y轴上的截距为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（　　）
A．（1，1，1） B．（2，1，1） C．（1，1，2） D．（1，2，3）
3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1＝0经过原点，则实数m等于（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（　　）

A．32 B．34 C．36 D．40
5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（　　）
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n
6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，则△F1MF2中最大角为（　　）
A．90° B．105° C．120° D．150°
7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2＝m表示双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）直线l：x+y﹣1＝0的倾斜角为　 　，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为　 　．
10．（4分）直线被圆x2+y2＝1所截得的弦长为　 　．
11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是　 　．（只需写出一组）

12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y＝　 　．
13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为　 　．
x
0
4

y

﹣2

14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3＝8x2y2
①请写出曲线W的两条对称轴方程　 　；
②请写出曲线W上的两个点的坐标　 　；
③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是　 　．
三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC，AB＝AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．

17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．
（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．

18．（12分）已知抛物线W：y2＝4x，直线x＝4与抛物线W交于A，B两点．点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．
（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；
（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；
（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）直线2x+y﹣1＝0在y轴上的截距为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0化为：y＝﹣2x+1，
则在y轴上的截距为1．
故选：D．
2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（　　）
A．（1，1，1） B．（2，1，1） C．（1，1，2） D．（1，2，3）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点A（1，0，1），B（3，2，1），
∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．
故选：B．
3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1＝0经过原点，则实数m等于（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1＝0经过原点，∴0+0﹣0+m+1＝0，
则实数m＝﹣1，
故选：B．
4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（　　）

A．32 B．34 C．36 D．40
【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：
长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为1的小长体的一个几何体，
如图，
∴该零件的体积：
V＝10×2×2﹣2×2×1＝36．
故选：C．

5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（　　）
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n
【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：
在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；
在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；
在C中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：D．
6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，则△F1MF2中最大角为（　　）
A．90° B．105° C．120° D．150°
【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，|MF1|+|MF2|＝8，
所以|MF1|＝5，|MF2|＝3，|F1F2|＝4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M＝90°．
故选：A．
7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2＝m表示双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程x2+my2＝m表示双曲线，y2＝1⇔m＜0．
∴“m＜0”是“方程x2+my2＝m表示双曲线”的充要条件．
故选：C．
8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图1所示，
∠OCB＝45°，令∠OAB＝22.5°，∴AC＝BC，点C满足题意；
如图2所示，
∠OAN＝45°，令∠OMN＝22.5°，则AN＝AM，点M满足题意；
综上，满足条件的点的个数是2个．
故选：B．


二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）直线l：x+y﹣1＝0的倾斜角为　135°　，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为　x+y﹣2＝0　．
【解答】解：直线l：x+y﹣1＝0的斜率为k＝﹣1，
倾斜角为α＝135°，
经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：
y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故答案为：135°，x+y﹣2＝0．
10．（4分）直线被圆x2+y2＝1所截得的弦长为　　．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1，
圆心O（0，0）到直线的距离：
d，
∴直线被圆x2+y2＝1所截得的弦长为：
|AB|＝22．
故答案为：．
11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是　A1、A、C、D　．（只需写出一组）

【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，
∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，
构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．
故答案为：A1、A、C、D．

12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y＝　　．
【解答】解：（x﹣1，1，﹣1），（3，y﹣2，2），
∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k使得：k，
∴，解得k，x，y＝0．
∴x+y．
故答案为：．
13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为　　．
x
0
4

y

﹣2

【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，
则（4，﹣2），（，）是双曲线上的两点．
设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
则，解得．
∴，．
则e．
故答案为：．
14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3＝8x2y2
①请写出曲线W的两条对称轴方程　x＝0，y＝0　；
②请写出曲线W上的两个点的坐标　（0，0）、（1，1）　；
③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是　[0，]　．
【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
分析可得，有[x2+（﹣y）2]3＝8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，
又由有[（﹣x）2+y2]3＝8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，
则曲线W的两条对称轴方程为x＝0，y＝0；
②，曲线W的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
有（02+02）3＝8×02×02，（12+12）3＝8×12×12，
点（0，0）与（1，1）都在曲线上，
则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；
③，曲线W的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t，（t≥0）
又由x2y2≤（）2，
则有（x2+y2）3≤8（）2，
即有t6≤8，
变形可得：0≤t，
即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．
三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，
∵．
∴a，则a＝2，即圆心C（2，2），．
则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
则直线方程为x＝1，圆心到直线x＝1的距离d＝2﹣1＝1＝r，
此时满足直线和圆相切，
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离d1，
即|k﹣2|，平方得k2﹣4k+4＝1+k2，
即k，此时直线方程为x﹣y0，即3x﹣4y﹣3＝0，
则对应的切线方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0．
16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC，AB＝AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．

【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．
∴DE∥PC，
∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴DE∥平面PAC．
（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB＝PC，AB＝AC，且点D是BC，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
∵PD∩AD＝D，∴BC⊥平面PAD，
∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．
17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．
（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．
证明如下：
∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，
∴OG⊥FC，
又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE＝FC，
∴OG⊥平面FCDE，
同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，
分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
由AB＝2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），
则（0，3，），（，0，0），（0，﹣1，），
∵0，0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，
∵EO∩OG＝0，
∴FD⊥平面ECO．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为（0，3，），
设平面EFG的法向量（x，y，z），
则，取y，得（﹣2，，﹣1），
∴cos，，
∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为．
（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设，
∴，
∴0，
∵B（，1，0），C（0，2，0），
（0，3，），（，0，）+（0，﹣λ，）＝（，﹣λ，），
0﹣3λ+3+3λ＝3，
这与0矛盾，
∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．

18．（12分）已知抛物线W：y2＝4x，直线x＝4与抛物线W交于A，B两点．点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．
（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；
（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；
（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，
不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|＝4+4＝8，
∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，
∴点P到直线x＝4的距离d为4﹣x0，
∴S△PAB|AB|•d8×（4﹣x0）＝4，
解得x0＝3，
当x0＝3时，y0＝2，
∴点P的坐标为（3，2）；
（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，
∴P点的坐标（y02，y0），
∴（4y02，4﹣y0），（4y02，﹣4﹣y0），
∵PA⊥PB，
∴•（4y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）＝0，
解得y0＝0或y0＝4，
∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．
∴|PA|＝4，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），
∵A（4，4），B（4，﹣4），
则直线AP的方程为y﹣4（x﹣4）（x﹣4），
直线BP的方程为y+4（x﹣4）（x﹣4），
∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，
∴令y＝0，得xM＝﹣y0，xN＝y0，
∴△PMN的面积S△PMN•|xM﹣xN|•y0＝y02，
∵△PAB的面积S△PAB|4﹣x0|×8＝16﹣y02，
∴16﹣y02＝y02，
解得y02＝8，
∴S△PMN＝8．
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日期：2019/12/27 12:29:37；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265