2018-2019学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．（5分）命题“∀x∈（0，），sinx＜1”的否定是　 　．
2．（5分）已知直线l过点A（1，1）、B（2，0），则直线l的斜率为　 　．
3．（5分）一质点的运动方程为s＝t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t＝3秒的瞬时速度为　 　．
4．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为　 　．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的准线方程为　 　．
6．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是　 　．

7．（5分）若a∈R，则“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0与l2：（a+1）x+2ay+4＝0垂直”的　 　条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）
8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+2的单调递减区间为　 　．
9．（5分）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是　 　．
10．（5分）有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为　 　．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为（3，0），则双曲线的渐近线方程为　 　．
12．（5分）已知可导函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2，其导函数f'（x）满足f'（x）＞3x2，则不等式f（2x）＜8x3+1的解集为　 　．
13．（5分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝6，AB为圆C上的两个动点，且，G为弦AB的中点．直线l：x﹣y﹣2＝0上有两个动点PQ，且PQ＝2．当AB在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为　 　．
14．（5分）函数f（x）＝x|ex﹣a|在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是　 　．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知m为实数．命题p：方程1表示双曲线；命题q：对任意x∈R，x2+（m﹣2）x0恒成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．
16．（14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭．在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额．为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为[500，600），[600，700），[700，800），[800，900），[900，1000]，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求余额不低于900元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？（用组中值代替各组数据的平均值）．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R
（1）直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l上存在点P满足条件PA＝2PB，求实数k的取值范围．
18．（16分）2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O1、O2之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2⊥AB于点M．设∠AO2M＝θ，
（1）当θ时，求喷泉ABCD的面积S；
（2）求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大？

19．（16分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交椭圆C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q，延长QM交椭圆C于点B．
①设直线PM、QM的斜率分别为k，k'，证明为定值；
②求直线AB斜率取最小值时，直线PA的方程．

20．（16分）已知函数f（x），φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x（m∈R）．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当m＞0时，求φ（x）在[1，2]上的最大值；
（3）求证：f（x）的极大值小于1．

2018-2019学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．（5分）命题“∀x∈（0，），sinx＜1”的否定是　∃x∈（0，），sinx≥1　．
【解答】解“sinx＜1”的否定是“sinx≥1”，
∴“∀x∈（0，），sinx＜1”的否定是“∃x∈（0，），sinx≥1”．
故答案为：∃x∈（0，），sinx≥1．
2．（5分）已知直线l过点A（1，1）、B（2，0），则直线l的斜率为　﹣1　．
【解答】解：由题意得：
k1，
故答案为：﹣1．
3．（5分）一质点的运动方程为s＝t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t＝3秒的瞬时速度为　6m/s　．
【解答】解：∵质点的运动方程为s＝t2+10
∴s′＝2t
∴该质点在t＝3秒的瞬时速度为2×3＝6
故答案为6m/s
4．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为　2　．
【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．
本市共有城市数24，
∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本
∴每个个体被抽到的概率是 ，
∵丙组中对应的城市数8，
∴则丙组中应抽取的城市数为8＝2，
故答案为2．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的准线方程为　x＝﹣2　．
【解答】解：抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的准线方程：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
6．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是　3　．

【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求y的值，
当x≥3时，y＝x2+1＝10，解得x＝3，（或﹣3，不合题意舍去）；
当x＜3时，y＝2x＝10，解得x＝5，舍去；
综上，x的值为3．
故答案为：3．
7．（5分）若a∈R，则“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0与l2：（a+1）x+2ay+4＝0垂直”的　充分不必要　条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）
【解答】解：“直线l1：ax+y﹣1＝0与l2：（a+1）x+2ay+4＝0垂直”的充要条件为：a（a+1）+1×（2a）＝0，即a＝0或a＝﹣3，
又易知：“a＝﹣3”是“a＝0或a＝﹣3”的充分不必要条件，
即“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0与l2：（a+1）x+2ay+4＝0垂直”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+2的单调递减区间为　（﹣1，1）　．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x+2，
∴f'（x）＝3x2﹣3，
由f'（x）＜0得，﹣1＜x＜1，
∴f（x）＝x3﹣3x+2的单调递减区间为：（﹣1，1）；
故答案为：（﹣1，1）．
9．（5分）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是　　．
【解答】解：过F1且垂直于x轴的弦长等于 ，点F1到l1的距离为 c，由条件知，
c，即 ，∴，
故答案为：．
10．（5分）有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为　　．
【解答】解：有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1，2，3，4．
将此木块在水平桌面上抛两次，
基本事件总数n＝4×4＝16，
两次看不到的数字都大于2包含的基本事件个数m＝2×2＝4，
则两次看不到的数字都大于2的概率为p．
故答案为：．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为（3，0），则双曲线的渐近线方程为　y＝±x　．
【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1＝9，
∴m＝4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y＝±x．
故答案为：y＝±x．
12．（5分）已知可导函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2，其导函数f'（x）满足f'（x）＞3x2，则不等式f（2x）＜8x3+1的解集为　（﹣∞，）　．
【解答】解：不等式f（2x）＜8x3+1，令t＝2x，可得f（t）＜t3+1，
令F（x）＝f（x）﹣x3﹣1，
F'（x）＝f'（x）﹣3x2＞0，
∴函数F（x）在R上单调递增函数，
∵f（x）＜x3+1，
∴f（x）﹣x3﹣1＜f（1），F（）＝f（2）﹣8×（）3﹣1＝0，
f（2x）﹣8x3﹣1＜0，
即F（x）＜F（），
根据函数F（x）在R上单调递增函数可知x．
故答案为：（﹣∞，）．
13．（5分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝6，AB为圆C上的两个动点，且，G为弦AB的中点．直线l：x﹣y﹣2＝0上有两个动点PQ，且PQ＝2．当AB在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为　（﹣∞，0）∪（3，+∞）　．
【解答】解：∵圆C：x2+（y﹣1）2＝6的半径为，，G为弦AB的中点，
∴CG＝2，设PQ中点为M（a，a﹣2），
∵PQ＝2，且当AB在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，
则以C为圆心，以2为半径的圆与以M为圆心，以1为半径的圆外离，
则，即a2﹣3a＞0，解得a＜0或a＞3．
∴线段PQ中点M的横坐标取值范围为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
14．（5分）函数f（x）＝x|ex﹣a|在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是　（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）　．
【解答】解：f（x）＝x|ex﹣a|．
当ex≥a时，f（x）＝x（ex﹣a），f′（x）＝ex﹣a+xex，
要使f（x）在（1，2）上单调递增，则在（1，2）上恒成立，
即a≤e；
当ex＜a时，f（x）＝x（a﹣ex），f′（x）＝a﹣ex﹣xex，
要使f（x）在（1，2）上单调递增，则在（1，2）上恒成立，
即a≥3e2．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知m为实数．命题p：方程1表示双曲线；命题q：对任意x∈R，x2+（m﹣2）x0恒成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）p真，即方程1表示双曲线，
即有（3m﹣1）（m﹣3）＜0，可得m＜3；
（2）q真，对任意x∈R，x2+（m﹣2）x0恒成立，
可得△＝（m﹣2）2﹣40，
解得﹣1＜m＜5，
命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，
可得p，q中一真一假，
若p真q假，可得，即为m∈∅；
若p假q真，可得，即为﹣1＜m或3≤m＜5．
综上可得m的范围是（﹣1，]∪[3，5）．
16．（14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭．在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额．为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为[500，600），[600，700），[700，800），[800，900），[900，1000]，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求余额不低于900元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？（用组中值代替各组数据的平均值）．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
100（0.0005+0.002+a+0.004+0.001）＝1，
解得a＝0.0025．
（2）余额在[900，1000]之间的频率为0.1，
故可估计余额不低于900元的客户大约为3000×0.1＝300（人）．
（3）客户人均损失的估计值为：
550×0.05+650×0.2+750×0.4+850×0.25+950×0.1＝765（元）．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R
（1）直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l上存在点P满足条件PA＝2PB，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R，即 k（x﹣2）﹣y﹣4＝0，
令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝﹣4，可得直线l过定点（2，﹣4）．
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l上存在点P（x，y），
满足条件PA＝2PB，则PA2＝4PB2，则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，
化简可得（x﹣2）2+y2＝4，故点P在以（2，0）为圆心，2为半径的圆上．
故该圆和直线l有交点，即2，求得k，或 k．
即实数k的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．
18．（16分）2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O1、O2之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2⊥AB于点M．设∠AO2M＝θ，
（1）当θ时，求喷泉ABCD的面积S；
（2）求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大？

【解答】解：（1）在直角△AO2M中，AM＝12sin6，O2M＝12cos6，
则AD＝1212，AB＝2AM＝12，
∴S＝AB•AD＝12（1212）＝288+144（平方米）
（2）在直角△AO2M中，AM＝12sinθ，O2M＝12cosθ，则AD＝24cosθ+12，
所以矩形ABCD的面积S＝24sinθ（20cosθ+12）＝288（2sinθcosθ+sinθ），
令f（θ）＝2sinθcosθ+sinθ，0＜θ，
则f'（θ）＝2cos2θ+cosθ＝4cos2θ+cosθ﹣2，0＜θ，
令f'（θ）＝0，得cosθ．设cosθ0，且0＜θ，列表如下：
θ
（0，θ0）
θ0
（θ0，）
f'（θ）
+
0
﹣
f（θ）
↗
极大值
↘
所以当θ＝θ0，f（θ）最大，即S最大，此时cosθ0，
故cosθ0，喷泉ABCD的面积最大．
19．（16分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交椭圆C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q，延长QM交椭圆C于点B．
①设直线PM、QM的斜率分别为k，k'，证明为定值；
②求直线AB斜率取最小值时，直线PA的方程．

【解答】解：（1）由题意知2a＝2，即a，
∵，
∴c＝1，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C的方程为y2＝1．
（2）证明：①设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．
∴直线PM的斜率k，直线QM的斜率k′，
此时．
∴为定值．
②设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，直线QB的方程为y＝﹣3kx+m．
联立，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣2＝0．
由△＝16k2m2﹣8（m2﹣1）（2k2+1）＞0，
∴x1x0，可得x1，
∴y1＝kx1+m＝k•m
同理x2，y2＝﹣3kx2+m＝﹣3k•m，
∴x1﹣x2，y1﹣y2＝3k•k•
＝24（m2﹣1）•8k（m2﹣1），
∴kAB（6k），
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
∴6k2，等号当且k仅当时取等号，
由P（x0，2m），m＞0，x0＞0在椭圆上可得x0，
k，
此时，即m，
由△＞0，得m2＜2k2+1，
∴k，m符合题意，
故直线AB 的斜率的最小值时，直线PA的方程为yx．
20．（16分）已知函数f（x），φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x（m∈R）．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当m＞0时，求φ（x）在[1，2]上的最大值；
（3）求证：f（x）的极大值小于1．
【解答】解：（1）∵f′（x），
∴f′（1），
∵f（1）＝0，
∴f（x）在x＝1处的切线方程y﹣0（x﹣1），即x﹣2y﹣1＝0，
（2）φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x＝mlnx﹣x，m＞0，
∴φ′（x）1，
令φ′（x）＝0，解得x＝m，
当0＜x＜m，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增，
当x＞m，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减，
故当0＜m≤1，函数φ（x）在[1，2]上单调递减，故φ（x）max＝φ（1）＝﹣1，
当1＜m＜2时，函数φ（x）在[1，m]上单调递增，在（m，2]上单调递减，φ（x）max＝φ（m）＝mlnm﹣m，
当m≥2，函数φ（x）在[1，2]上单调递增，故φ（x）max＝φ（2）＝mln2﹣2，
证明：（3）∵f′（x），
令g（x）＝1lnx，
∴g′（x）0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵g（1）＝2＞0，g（e2）1＜0，
∴存在唯一的x0∈（1，e2），使得g（x0）＝0，即1lnx0＝0，即lnx0＝1
当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴函数有极大值，f（x）极大值＝f（x0），
∵x0∈（1，e2），
∴1，
∴f（x0）＜1，
即f（x）的极大值小于1．
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日期：2019/12/27 12:22:05；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265