2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.
1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是　 　．
2．（5分）已知命题p：多面体ABCD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的　 　条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）
3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程是　 　．
4．（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是　 　推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）．
5．（5分）直线x+2y＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为　 　．
6．（5分）函数f（x）＝sinx在[，]上的平均变化率是　 　．
7．（5分）若双曲线C：1的焦距为8，点M（1，）在其渐近线上，则双曲线C的准线方程为　 　．
8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x）＝　 　．
9．（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是　 　cm．
10．（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x），设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）＝[f0（x）]'，f2（x）＝[f1（x）]'，f3（x）＝[f2（x）]'，……，根据以上结果，推断f2019（x）＝　 　．
11．（5分）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是　 　．
12．（5分）若方程a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是　 　．
13．（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为　 　m时，所用材料最省．
14．（5分）若函数f（x），恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为　 　．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB；
（2）AM⊥平面PCD．

16．（14分）（1）已知a＞b＞0，m＞0，用分析法证明：；
（2）已知实数a，b，c，d满足ac≥2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b＝0与方程x2+cx+d＝0至少有一个方程有实根．
17．（14分）已知函数f（x）x3﹣4x的定义域为[﹣3，4]．
（1）求函数y＝f（x）的最大值和最小值；
（2）试求函数y＝f（x）的零点个数．
18．（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆O和矩形EFGH两部分组成，其中EF为半圆直径，长度为200米，矩形EFGH的宽FG长度为100米．开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计要求A，B在半圆周边界上，C，D在GH边界上，如图所示．设∠AOE＝θ．
（1）求游泳池的面积S关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得游泳池的面积S最大，并求出最大值．

19．（16分）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2．直线AB与圆O相切，切点在第一象限内，且与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C和圆O的标准方程；
（2）若△OAB的面积为，求直线AB的方程；
（3）设圆O与x轴正半轴的交点为D，求证：△DAB的周长为定值．

20．（16分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）•g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意0＜x1＜x2，均有g（x2）﹣g（x1）＞λ[]成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x，求证：对任意的x∈[]，h（x）＜﹣3恒成立．
附加卷
21．（10分）求函数y＝3cos（2x）在x处的切线方程．
22．（10分）已知定点A（﹣2，0），点B是圆x2+y2﹣8x+12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．
23．（10分）已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1．
24．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1
（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；
（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．


2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.
1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是　“存在x∈R，x2﹣1＞0”　．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是
“存在x∈R，x2﹣1＞0”．
故答案为：“存在x∈R，x2﹣1＞0”．
2．（5分）已知命题p：多面体ABCD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的　必要不充分　条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）
【解答】解：底面是正三角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱锥，侧棱和底面三角形的边长不一定相等，
二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，
则命题p是命题q的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程是　y2＝﹣4x　．
【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x＝1，
则抛物线的开口向左，且1，
则抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x；
故答案为：y2＝﹣4x
4．（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是　“类比”　推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）．
【解答】解：鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理．
故答案为：“类比”．
5．（5分）直线x+2y＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为　　．
【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25的圆心坐标为（3，1），半径为5．
圆心（3，1）到直线x+2y＝0的距离d，
∴线段AB的长为2．
故答案为：4．
6．（5分）函数f（x）＝sinx在[，]上的平均变化率是　　．
【解答】解：函数f（x）＝sinx在[，]上的平均变化率为：
故答案为：
7．（5分）若双曲线C：1的焦距为8，点M（1，）在其渐近线上，则双曲线C的准线方程为　x＝±1　．
【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为8，即2c＝8，则c＝4，
若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为yx，
又由双曲线的方程为，
则有，
又由c＝4，则a2+b2＝c2＝16，
解可得a2＝4，b2＝12，
则双曲线的方程为：，
其中1，则其准线方程为x＝±1，
故答案为：x＝±1
8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x）＝　　．
【解答】解：f′（x），
故答案为：
9．（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是　4　cm．
【解答】解：设铁球的半径是Rcm，
则V圆锥＝V球，即，
解得：R＝4（cm）．
故答案为：4．
10．（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x），设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）＝[f0（x）]'，f2（x）＝[f1（x）]'，f3（x）＝[f2（x）]'，……，根据以上结果，推断f2019（x）＝　　．
【解答】解：f1（x）＝[f0（x）]'，f2（x）＝[f1（x）]'，f3（x）＝[f2（x）]'，……，
f4（x）＝[f3（x）]'，
依此类推，fn（x）＝（﹣1）n•，
∴f2019（x），
故答案为：
11．（5分）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是　　．
【解答】解：过F1且垂直于x轴的弦长等于 ，点F1到l1的距离为 c，由条件知，
c，即 ，∴，
故答案为：．
12．（5分）若方程a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是　[0，）　．
【解答】解：画出函数y，与y＝a（x+2）的图象，
即以O为圆心，1为半径的上半圆与恒过定点（﹣2，0）
的直线y＝a（x+2），
如图：方程a（x+2）有两个不相等实数解，
可得1，解得a∈（，），
结合图象可得：a∈[0，）．
故答案为：[0，）．

13．（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为　4　m时，所用材料最省．
【解答】解：设底边长为xm，（x＞0）由题意可得，高hm
用料y＝x2+4xh＝x2x2
≥3192，
当且仅当x2即x＝8时取等号
故它的底边长为8，高为4时最省材料
故答案为：4．
14．（5分）若函数f（x），恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为　a≤0或a　．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝2x+3x＝0得3x＝﹣2x，由图象知此时方程3x＝﹣2x有一个根，即此时函数f（x）有一个零点，
若f（x）恰有两个不同零点，则等价为当x＞0时，函数f（x）＝ax﹣lnx有一个零点，
由f（x）＝ax﹣lnx＝0得a，
设g（x），则函数的导数g′（x），
由g′（x）＞0得1﹣lnx＞0，得lnx＜1，得0＜x＜e，此时函数f（x）单调递增，
由g′（x）＜0得1﹣lnx＜0，得lnx＞1，得x＞e，此时函数f（x）单调递减，
即当x＝e时，函数f（x）取得极大值g（e），
当x＞1时，0＜g（x），
当0＜x≤1时，g（x）≤0，
则g（x）的对应图象为，
若a只有一个根，则a≤0或a，
即实数a的取值范围是a≤0或a，
故答案为：a≤0或a．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB；
（2）AM⊥平面PCD．

【解答】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，
所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC．所以MN∥AB，
又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
（2）因为AP＝AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．
因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，
∴AM⊥平面PCD．

16．（14分）（1）已知a＞b＞0，m＞0，用分析法证明：；
（2）已知实数a，b，c，d满足ac≥2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b＝0与方程x2+cx+d＝0至少有一个方程有实根．
【解答】解：（1）要证明：成立，
由于a＞b＞0，m＞0，
则证明b（a+m）＜a（b+m），
即证ab+bm＜ab+am成立，
即bm＜am成立，
即b＜a成立即可，
由条件知b＜a成立，则成立．
（2）反证法：假设结论不成立，即方程x2+ax+b＝0与方程x2+cx+d＝0都没有实根，
则判别式满足△1＝a2﹣4b＜0，△2＝c2﹣4d＜0，
则a2+c2﹣4d﹣4b＜0，
即4d+4b＞a2+c2，
即4d+4b＞a2+c2≥2ac，
即2（b+d）＞ac，与条件ac≥2（b+d）矛盾，
即假设不成立，则原命题成立．
17．（14分）已知函数f（x）x3﹣4x的定义域为[﹣3，4]．
（1）求函数y＝f（x）的最大值和最小值；
（2）试求函数y＝f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）函数f（x）x3﹣4x的导数为f′（x）＝x2﹣4，
由f′（x）＝0，可得x＝±2，
由f（﹣2），f（2）＝﹣5，f（﹣3），f（4），
可得f（x）的最小值为﹣5，最大值为；
（2）由（1）可得f（x）在（﹣2，2）递减；
在（﹣3，﹣2），（2，4）递增，可得f（x）在x＝﹣2处取得极大值0；
f（x）在x＝2处取得极小值﹣5＜0，且f（﹣3）0，f（4）0，
可得f（x）在[﹣3，4]的零点个数为2．
18．（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆O和矩形EFGH两部分组成，其中EF为半圆直径，长度为200米，矩形EFGH的宽FG长度为100米．开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计要求A，B在半圆周边界上，C，D在GH边界上，如图所示．设∠AOE＝θ．
（1）求游泳池的面积S关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得游泳池的面积S最大，并求出最大值．

【解答】解：（1）由于EF＝200，则AO＝100，FG＝100，
∴AD＝100sinθ+100＝100（sinθ+1），AB＝2×100cosθ＝200cosθ，
∴S（θ）＝AB•AD＝20000（sinθ+1）cosθ，0≤θ，
（2）由（1）可得S（θ）＝20000（sinθcosθ+cosθ），
设f（θ）＝sinθcosθ+cosθ，0≤θ，
∴f′（θ）＝cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝﹣2sin2θ﹣sinθ+1＝﹣（2sinθ﹣1）（sinθ+1），
令f′（θ）＝0，解得sinθ，即θ，
当0≤θ时，即0＜sinθ时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增，
当θ时，即sinθ＜1时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减，
故当θ，f（θ）max＝f（），
∴Smax＝2000015000
19．（16分）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2．直线AB与圆O相切，切点在第一象限内，且与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C和圆O的标准方程；
（2）若△OAB的面积为，求直线AB的方程；
（3）设圆O与x轴正半轴的交点为D，求证：△DAB的周长为定值．

【解答】解：（1）将两点坐标代入椭圆C的方程可得，得，
所以，椭圆C的标准方程为，圆O的标准方程为x2+y2＝1；
（2）由于△OAB的高为1，△OAB的面积为，得．
由题意可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0，则k＜0，
由于直线AB与圆O相切，则，化简得m2＝k2+1，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由韦达定理可得，，
所以，
，
化简得4k4+4k2﹣3＝0，即（2k2﹣1）（2k2+3）＝0，由于k＜0，解得，
由于直线AB与圆的切点在第一象限，则m＞0，所以，，
因此，直线AB的方程为；
（3）易知点D（1，0），设直线AB与圆O的切点为p（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，且，
由于点A（x1，y1），则，所以，，且，
，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，
因此，△ABD的周长为|AD|+|BD|+|AP|+|BP|．
所以，△DAB的周长为定值．
20．（16分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）•g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意0＜x1＜x2，均有g（x2）﹣g（x1）＞λ[]成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x，求证：对任意的x∈[]，h（x）＜﹣3恒成立．
【解答】解：（1）函数F（x）＝exlnx的导数为
F′（x）＝ex（lnx），
可得F（x）在点（1，F（1））处的切线斜率为k＝e（ln1+1）＝e，
切点为（1，0），
即有f（x）在点（1，F（1））处的切线方程为y﹣0＝e（x﹣1），
化简为y＝ex﹣e；
（2）：由g（x2）﹣g（x1）＞λ[]得：g（x1）g（x2），
令H（x）＝g（x）﹣λ[f（x）]﹣1＝lnx，（x＞0），
依题意只需H（x）在（0，+∞）单调递增即可，
H′（x），
只需ex+λx≥0在（0，+∞）上恒成立即可，
即，
令m（x），（x＞0），m．
可得m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴m（x）≤m（1）＝﹣e，故λ＞﹣e；
（3）函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x＝（x﹣2）ex+lnx﹣x，
易得lnx﹣x≤﹣1，
∴h（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x≤（x﹣2）ex﹣1，
令G（x）＝（x﹣2）ex﹣1，x∈[]，
G′（x）＝（x﹣1）ex≤0
∴G（x）在[]单调递减，
∴G（x）≤G（）3，
故对任意的x∈[]，h（x）＜﹣3恒成立．
附加卷
21．（10分）求函数y＝3cos（2x）在x处的切线方程．
【解答】解：函数y＝3cos（2x），可得y′＝﹣6sin（2x），
可得6．
x，可得y＝3cos（2）＝0，
函数y＝3cos（2x）在x处的切线方程：y＝﹣6（x）．
22．（10分）已知定点A（﹣2，0），点B是圆x2+y2﹣8x+12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．
【解答】解：设M（x，y），B（m，n），可得
∵点A（﹣2，0），M是AB的中点，
∴由中点坐标公式得，解得m＝2x+2，n＝2y．
∵B（m，n）在圆C：x2+y2﹣8x+12＝0上运动，可得（2x+2）2+（2y）2﹣8（2x+2）+12＝0，
∴（x+1）2+y2﹣4x﹣1＝0，化简得（x﹣1）2+y2＝1，
即为AB的中点M的轨迹方程．
23．（10分）已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1．
【解答】证明：当n＝1时，2，不等式成立，
②假设n＝k时，不等式成立，即1，
当n＝k+1时，122．
∴当n＝k+1时，不等式成立．
由①②得1．
n为正整数，1．
24．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1
（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；
（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．

【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）
∴，，
设面SBC的法向量为
由可取
∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为
|cos|，
∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．
二面角S﹣BC﹣A的余弦值为
（2）由（1）知E（1，0，1），则，，
设，（0≤λ≤1）．则，
易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取
|cos|，
解得λ或λ（舍去）．
此时，∴||，
∴线段CP的长为

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