2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是　 　．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的焦点坐标为　 　．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为　 　．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是　 　．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，O是坐标原点，则OP的最小值为　 　．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为　 　．
7．（5分）函数f（x）＝ex﹣x的单调递增区间为　 　．
8．（5分）已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的　 　条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
9．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为　 　cm3．

10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为　 　．

11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m⊂β，α∥β，则m∥α．
正确命题的序号是　 　．
12．（5分）已知y＝kx+b是函数f（x）＝lnx+x的切线，则2k+b的最小值为　 　．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2和点A（0，），B（0，），若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r的取值范围是　 　．
14．（5分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　 　．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6．以A，B为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）过C，D两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．

16．（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AMMC，DNNF．
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC．

17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；
（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PMPO，求点P的坐标．
18．（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．
（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；
（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？

19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内．M为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．
①若直线l经过原点，且k1﹣k2，求点A的坐标；
②若直线l过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．
（1）当b＝1时，若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的值；
（2）当a＝1时．
①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；
②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b的取值范围．

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是　∀x∈R，x2﹣x+1≠0　．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的焦点坐标为　（2，0）　．
【解答】解：抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为　　．
【解答】解：由题意得：
，
解得：a，
故答案为：．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是　（﹣∞，1）∪（2，+∞）　．
【解答】解：若方程表示的曲线为双曲线，
则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，
解得k＜1，或k＞2，即k∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，O是坐标原点，则OP的最小值为　2　．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，
∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：
d2．
故答案为：2．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为　x2+（y﹣1）2＝5　．
【解答】解：A（﹣2，0），B（2，2），
则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），
半径为r|AB|，
∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．
7．（5分）函数f（x）＝ex﹣x的单调递增区间为　（0，+∞）　．
【解答】解：函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0，
故答案为：（0，+∞）．
8．（5分）已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的　必要不充分　条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
【解答】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件，
由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，
即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
9．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为　30　cm3．

【解答】解：如图，连接A1C，
根据等底等高，易得：
，
∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，
∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，
故答案为：30．

10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为　　．

【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，
点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，
可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，
可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．
故答案为：．

11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m⊂β，α∥β，则m∥α．
正确命题的序号是　③　．
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；
在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．
故答案为：③．
12．（5分）已知y＝kx+b是函数f（x）＝lnx+x的切线，则2k+b的最小值为　ln2+2　．
【解答】解：根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），
函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为y＝kx+b，
则k1，b＝lnm﹣1，
则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，
设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，
则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；
故答案为：ln2+2．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2和点A（0，），B（0，），若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r的取值范围是　[22，42]　．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，
可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：2，
则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，
或：（x+1）2+y2＝22，
已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P和，使得∠APB＝60°，
就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．
故答案为：[2，42]．
14．（5分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1）∪（1，+∞）　．
【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，
∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
令f′（x）＝0，解得x＝a或x，
∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，
∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，
∴f（a）f（）＜0，
即（﹣a+1）[（1）（a）2﹣a+1]＜0，
整理可得（a﹣1）2（）＞0，
即4（a﹣1）2﹣27＞0，
解得a＜1或a＞1
故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6．以A，B为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）过C，D两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．

【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6，
等腰梯形的高为，
可得A（﹣4，0），B（4，0），C（3，），D（﹣3，），
则CA8，CB4，
由2a＝CA﹣CB＝4，即a＝2，
又AB＝8，即c＝4，b2，
则双曲线的方程为1；
（2）双曲线的离心率e2；
渐近线方程为y＝±x．

16．（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AMMC，DNNF．
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC．

【解答】解
（1）证明：取DC的三等分点P，使DP，
∵，
∴MP∥AD，
∴MP∥BC，
∴MP∥平面FBC，
∵，
∴NP∥FC，
∴NP∥平面FBC，
∴平面MNP∥平面FBC，
∴MN∥平面FBC；
（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，
∴CD⊥平面FBC，
∴CD⊥平面MNP，
∴CD⊥MN，
即MN⊥DC

17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；
（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PMPO，求点P的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），
又圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，其圆心C（﹣1，2），半径r，
则有，
解可得：a＝﹣1或a＝3，
故所求切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；
（2）根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2＝PC2﹣MC2，
又由PMPO，则2PO2＝PC2﹣MC2，
若点P（x1，y1），O（0，0），MC＝r，
则（x1+2）2+（y1﹣2）2﹣2＝2（x12+y12），
变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，
点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②
联立①②可得：，变形可得：5x12﹣18x1+9＝0，
解可得x1或x1＝3；
当x1时，y1，此时P的坐标为（，），
当x1＝3时，y1＝0，此时P的坐标为（3，0）
则P的坐标为（，）或（3，0）．
18．（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．
（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；
（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？

【解答】解：（1）若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10﹣x，
∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0＜x＜10，
∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，
故P点受A光源的照度为：，
P点受B光源的照度为：，
故问题P收到A，B两光源的总照度y，x∈（0，10）；
（2）∵f（x），x∈（0，10），
∴f′（x），
令f′（x）＝0，解得：x，
当0＜x时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）递减，
当x＜10时，f′（x）＞0，
故f（x）在（，10）递增，
故当x时，f（x）取极小值，且是最小值，
故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内．M为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．
①若直线l经过原点，且k1﹣k2，求点A的坐标；
②若直线l过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，右准线方程为x，
∴，解得．
又∵，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），M为椭圆的上顶点，则M（0，1），
∵直线l经过原点，由椭圆对称性可知，B（﹣x1，﹣y1），
∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴，即．
∵，．
∴．
∴，解得或．
∵点A在第三象限角，∴k1，则k1＝1．
则直线MA的方程为y＝x+1．
联立，解得或，∴A（）．
②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2）．
联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．
当△＞0时，由韦达定理可知，，．
∴
2k+（1﹣2k）＝1．
20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．
（1）当b＝1时，若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的值；
（2）当a＝1时．
①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；
②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b的取值范围．
【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝alnx+（x﹣1）（x﹣2），
f′（x）2x﹣3，
∵f（x）在x＝2处取极小值，故f′（2）＝0，解得：a＝﹣2，
此时，f′（x），
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）在x＝2处取极小值，
故a＝﹣2符合题意；
（2）当a＝1时，∵f（x）＝lnx+b（x﹣1）（x﹣2），
∴f′（x），
令g（x）＝2bx2﹣3bx+1，
①∵f（x）在（1，2）递增，
∴f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即g（x）≥0在（1，2）恒成立，
1°当b＝0时，则g（x）＝1，满足题意，
2°当b≠0时，g（x）的对称轴是x1，
故，解得：b＜0或0＜b≤1，
综上，实数b的范围是[，1]；
②1°当b＝0时，f（x）＝lnx，与题意不符，
2°当b＜0时，取x0＝3，则x0＞1，
令h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，
故f（x0）＝lnx0+b（x0﹣1）（x0﹣2）≤（x0﹣1）+b（x0﹣1）（x0﹣2）＝2b﹣1＜0，
故b＜0符合题意；
3°当0＜b≤1时，
∵g（x）＝2bx2﹣3bx+1在（1，+∞）递增且g（1）＝1﹣b≥0，
故f′（x）0在（1，+∞）恒成立，
故f（x）在（1，+∞）递增，
故f（x）≥f（1）＝0恒成立，与题意不符；
4°当b＞1时，
∵g（1）＝1﹣b＜0，g（2）＝2b+1＞0，
由零点存在性原理可知，存在x1∈（1，2），使得g（x1）＝0，
故当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
取x0＝x1＞1，则f（x0）＜f（1）＝0，符合题意，
综上，实数b的范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/27 12:22:00；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265