2017-2018学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科），共47页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2006•上海）抛物线y2＝4x的焦点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）
2．（5分）（2016春•高密市期末）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）（2016•河南模拟）双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．2
4．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）过曲线y＝f（x）图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x＝0.5时割线的斜率为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（5分）（2018秋•宿州期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是（　　）
A．在（﹣3，1）上f（x）是增函数
B．在x＝1处f（x）有极大值
C．在（1，3）上f（x）为减函数
D．在x＝4处f（x）取极小值
7．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）若，，且，则λ与μ的值分别为（　　）
A． B．5，2 C． D．﹣5，﹣2
8．（5分）（2018秋•醴陵市期末）点P在曲线yx3﹣2x2+3x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A．[0，）∪[，π） B．[0，）
C．[，）∪[，π） D．（，]
9．（5分）（2017秋•商丘期末）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
10．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）已知：x＝x1，x＝x2是函数f（x）ax3ax2﹣x的两个极值点，且A（x1，），B（x2，），则直线AB与椭圆y2＝1的位置关系为（　　）
A．相切 B．相交
C．相离 D．位置关系不正确
11．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）已知圆P：x2+y2﹣4y＝0及抛物线，过圆心P作直线l，此直线与两曲线有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为（　　）
A． B．或
C． D．或
12．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）＝ln（ex+6x+t）是“倍域函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．（2﹣6ln2，+∞）
C． D．（﹣∞，6ln2﹣2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度（单位：m）是h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为　 　．
14．（5分）（2018秋•驻马店期末）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于　 　．
15．（5分）（2014•淇县校级四模）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　 　．
16．（5分）（2016•沙河口区校级模拟）如图，已知F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的上下焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2017秋•龙华区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增．
18．（12分）（2016•河南一模）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|•|PB|＝|OP|2，其中，求直线l的斜率．
19．（12分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

20．（12分）（2016•石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使．
（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．

21．（12分）（2017•兰州二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
22．（12分）（2017秋•龙华区校级期末）已知函数f（x）＝lnxax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）的极值；
（2）求当a＞0时，函数y＝f（x）在区间[1，e]上的最小值Q（a）；
（3）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围并证明：x1•x2＞e2．

2017-2018学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2006•上海）抛物线y2＝4x的焦点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且p＝2
∴1
∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0）
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．
2．（5分）（2016春•高密市期末）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】先计算f′（x），再根据f′（﹣1）＝4，列出关于a的方程，即可解出a的值．
【解答】解：∵f（x）＝ax3+3x2+2，
∴f′（x）＝3ax2+6x，
∴f′（﹣1）＝3a﹣6，
已知f′（﹣1）＝4，
∴3a﹣6＝4，解得a．
故选：D．
【点评】本题考查导数的运算，正确计算出f′（x）是计算的关键．
3．（5分）（2016•河南模拟）双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于双曲线1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2＝3相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d＝r，利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：取双曲线的渐近线yx，即bx﹣ay＝0．
∵双曲线1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2＝1相切，
∴圆心（2，0）到渐近线的距离d＝r，
∴，化为2bc，
两边平方得3c2＝4b2＝4（c2﹣a2），化为c2＝4a2．
∴e2．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．
4．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）过曲线y＝f（x）图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x＝0.5时割线的斜率为（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】61：变化的快慢与变化率；62：导数及其几何意义；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】由题意，当△x＝0.5时，2+△x＝2.5，代入函数式求得﹣2+△y，由斜率公式可得．
【解答】解：当△x＝0.5时，2+△x＝2.5，
故﹣2+△y，
故kPQ．
故选：B．
【点评】本题考查了变化率的应用，斜率公式的运用，属于基础题．
5．（5分）（2018秋•宿州期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】M1：空间向量及其线性运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将向量分解成，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．
【解答】解：


故选：D．

【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题．
6．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是（　　）
A．在（﹣3，1）上f（x）是增函数
B．在x＝1处f（x）有极大值
C．在（1，3）上f（x）为减函数
D．在x＝4处f（x）取极小值
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，即可得到结论．
【解答】解：根据导函数看正负，原函数看增减，
可得在x＝4的左右附近，导数值先负后正，
可得函数先减后增，从而可知在x＝4处函数取得极小值，
故选：D．

【点评】本题考查导函数的图象，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变．
7．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）若，，且，则λ与μ的值分别为（　　）
A． B．5，2 C． D．﹣5，﹣2
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量共线的条件列式求解λ与μ的值．
【解答】解：由，得．
又，，
∴，解得．
故选：A．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
8．（5分）（2018秋•醴陵市期末）点P在曲线yx3﹣2x2+3x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A．[0，）∪[，π） B．[0，）
C．[，）∪[，π） D．（，]
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5：高考数学专题；53：导数的综合应用．
【分析】利用导数的几何意义和正切函数的单调性的性质求出结果即可．
【解答】解：设切点P（x0，y0），由f′（x）＝x2﹣4x+3，得过切点p处的切线的斜率k＝x02﹣4x0+3＝（x0﹣2）2﹣1≥﹣1．
∴tanα≥﹣1，解得α∈[0，）∪[，π）．
故选：A．
【点评】熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键．
9．（5分）（2017秋•商丘期末）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角．然后在△DEF中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面直线DE与AC夹角的余弦值．
【解答】解：取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，
∵正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A＝C1C
∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得A1C1∥AC
又∵△A1C1D1中，EF是中位线
∴EF∥A1C1，且EFA1C1．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角
设正方体的棱长为a，则△DEF中
DF＝DEa，EFA1C1a
由余弦定理，得cos∠DEF0
可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为
故选：D．

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于基础题．
10．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）已知：x＝x1，x＝x2是函数f（x）ax3ax2﹣x的两个极值点，且A（x1，），B（x2，），则直线AB与椭圆y2＝1的位置关系为（　　）
A．相切 B．相交
C．相离 D．位置关系不正确
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；34：方程思想；53：导数的综合应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出原函数的导函数，由函数f（x）ax3ax2﹣x有两个极值点，可得，把过A，B的直线方程整理为y＝a（x﹣1），可知直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），由此可知直线AB与椭圆y2＝1的位置关系．
【解答】解：由f（x）ax3ax2﹣x，得f′（x）＝ax2﹣ax﹣1，
又函数f（x）ax3ax2﹣x有两个极值点，
∴方程ax2﹣ax﹣1＝0有两个不等的实数根，
则a2+4a＞0，且，
∴，
则过AB的直线方程为y，
整理得：，
即y＝a（x﹣1），
则直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），
∴直线AB与椭圆y2＝1的位置关系为相交．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查了椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．
11．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）已知圆P：x2+y2﹣4y＝0及抛物线，过圆心P作直线l，此直线与两曲线有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为（　　）
A． B．或
C． D．或
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|＝3|BC|，求出k的值，可得直线l的斜率的值，即可求出直线l的方程．
【解答】解：圆P的方程为x2+（y﹣2）2＝4，则其直径长|BC|＝4，圆心为P（0，2），
∵AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴|AB|+|CD|＝2|BC|＝8，即|BC|＝4，
又|AD|＝|AB|+|BC|+|CD|＝3|BC|＝12．
设直线l的方程为y＝kx+2，代入抛物线方程x2＝8y得：x2﹣8kx﹣16＝0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），有，∴，
∴8（k2+1）＝12，即，解得，
∴直线l的方程为或，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键，综合性较强，运算量较大．
12．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）＝ln（ex+6x+t）是“倍域函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A． B．（2﹣6ln2，+∞）
C． D．（﹣∞，6ln2﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】由“倍域函数”定义知即方程f（x）＝2x有两个不同实根，即方程ex+6x+t＝e2x有两个不同实根．设函数g（x）＝e2x﹣ex﹣6x﹣t（x∈R），求导数，确定函数的单调性，可得方程g（x）＝0有两个不同实根的充要条件，即可得出结论．
【解答】解：由“域倍函数”定义知即方程f（x）＝2x有两个不同实根，即方程ex+6x+t＝e2x有两个不同实根．
设函数g（x）＝e2x﹣ex﹣6x﹣t（x∈R），∴g'（x）＝2e2x﹣ex﹣6＝（2ex+3）（ex﹣2）．
令g'（x）＝0，解得x＝ln2．
当x＜ln2时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，ln2）上是减函数；当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（ln2，+∞）上是增函数．
∴当x＝ln2时，g（x）min＝4﹣2﹣6ln2﹣t，∴x∈R，g（x）∈[2﹣6ln2﹣t，+∞），
∴方程g（x）＝0有两个不同实根的充要条件为2﹣6ln2﹣t＜0，所以t＞2﹣6ln2，
故选：B．
【点评】本题考查函数的值域，考查导数知识的运用，难点在于构造函数，确定函数的单调性．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•龙华区校级期末）在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度（单位：m）是h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为　﹣3.3　．
【考点】61：变化的快慢与变化率．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的物理意义可知，h（t）函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求导数即可．
【解答】解：∵h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，
∴h'（t）＝﹣4.9×2t+6.5＝﹣9.8t+6.5，
∴在t＝1s时的瞬时速度为h'（1）＝﹣9.8+6.5＝﹣3.3，
故答案为：﹣3.3．
【点评】本题主要考查导数的计算，利用导数的物理意义即可求瞬时速度，比较基础．
14．（5分）（2018秋•驻马店期末）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于　　．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4G：演绎法；5G：空间角．
【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．
【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，
∴直线l与平面α所成的角的正弦值＝||．
故答案为．
【点评】本题考查了线面几角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）（2014•淇县校级四模）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　﹣37　．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值，即可求出函数的最小值．
【解答】解：由已知，f′（x）＝6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max＝f（0）＝m＝3，故有f（x）＝2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）＝﹣37，f（2）＝﹣5
因为f（﹣2）＝﹣37＜f（2）＝﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）＝﹣37．
答案为：﹣37
【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．
16．（5分）（2016•沙河口区校级模拟）如图，已知F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的上下焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为　2　．

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】连接PF1，设PF2的中点为M，由相切可得PF1⊥PF2，运用勾股定理可得|PF2|c，运用中位线定理可得P到渐近线的距离为c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：连接PF1，设PF2的中点为M，
由题意可得PF1⊥PF2，
|PF1|＝c，|F1F2|＝2c，
可得|PF2|c，
即有P到渐近线的距离为c，
由OM为中位线可得，
可得F1（0，﹣c）到渐近线的距离为c，
由双曲线的渐近线方程yx，
可得dc，
化为3c2＝4b2，
又b2＝c2﹣a2，
可得c＝2a，即e2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2017秋•龙华区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）函数f（x）＝ex﹣ax2，函数f′（x）＝ex﹣2ax，利用已知条件列出方程求解a，b即可．
（2）由（1）知，函数f（x）＝ex﹣x2，得到f′（x）＝ex﹣2x，求出f′′（x）＝ex﹣2，利用极值点判断导函数的单调性，即可证明结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex﹣ax2，函数f′（x）＝ex﹣2ax，
由题设得，f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，
解得a＝1，b＝e﹣2…（4分）
（2）由（1）知，函数f（x）＝ex﹣x2，∴f′（x）＝ex﹣2x，f′′（x）＝ex﹣2，
令f′′（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln2，且 ln2∈（﹣∞，1]…（6分）
∴f′（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，1]上单调递增，…（8分）
∴f′（x）≥f′（lnx）＝2﹣ln2＞0，…（9分）
∴函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增…（10分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查二次导数的应用．
18．（12分）（2016•河南一模）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|•|PB|＝|OP|2，其中，求直线l的斜率．
【考点】I3：直线的斜率；J9：直线与圆的位置关系；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；
（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，
【解答】解：（1）当时，由，得，
∴直线方程为，
由，得曲线C的普通方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8＝0，
∴，，
∴M的坐标为；
（2）把直线的参数方程代入，
得：，
∴，由|PA|•|PB|＝|t1t2|＝|OP|2＝7，得：，
∴，，
得，∴．
又△＝32cosα（2sinα﹣cosα）＞0，故取tanα．
∴直线L的斜率为．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题（2）的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．
19．（12分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则ax，h（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S＝4ah＝8x（30﹣x）＝﹣8（x﹣15）2+1800，
答：当x＝15时，S取最大值．
（2）V＝a2h＝2（﹣x3+30x2），V′＝6x（20﹣x），
由V′＝0得x＝20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
答：当x＝20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．
20．（12分）（2016•石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使．
（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）取AB的中点O，连C′O，DO，通过就是证明C′O⊥OD，证明C′O⊥平面ABD，然后证明平面C′AB⊥平面DAB．
（2）以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
求出平面AC′D的法向量，平面BC′D的法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）取AB的中点O，连C′O，DO，
在RT△ACB，RT△ADB，AB＝2，则C′O＝DO＝1，又，∴C′O2+DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，…（2分）
又，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD∴C′O⊥平面ABD，…（4分）
又C′O⊂平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB…（5分）
（2）以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则，
∴（6分）
设平面AC′D的法向量为，则，即，
，
令z1＝1，则y1＝﹣1，，∴（8分）
设平面BC′D的法向量为，则，
即，，
令z2＝1，则y2＝1，，∴（10分）
∴，
二面角A﹣C′D﹣B的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（12分）（2017•兰州二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
则，解得：a2＝8，b2＝4．
∴椭圆C的方程为；
（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），
则，
A（，0），
AF所在直线方程，取x＝0，得，
∴N（0，），
AE所在直线方程为，取x＝0，得y，
∴M（0，）．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），
半径r，
圆的方程为，
即．
取y＝0，得x＝±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．
22．（12分）（2017秋•龙华区校级期末）已知函数f（x）＝lnxax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）的极值；
（2）求当a＞0时，函数y＝f（x）在区间[1，e]上的最小值Q（a）；
（3）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围并证明：x1•x2＞e2．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a＝2时，函数f（x）＝lnx+x2﹣3x（x＞0）．f′（x），利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
（2）函数f（x）的定义域是[1，e]．f′（x）ax﹣（a+1）（a＞0）．当a＞0时，令f′（x）＝0有两个解，x＝1或x．对a分类讨论，利用导数研究函数单调性极值与最值即可得出．
（3）关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，即lnx﹣（a+1）x＝0有两个不同实根x1，x2，得a+1，令g（x）（x＞0），g′（x），
令g′（x）＝0，得x＝e，利用导数研究函数单调性极值与最值并且结合图象即可得出a+1的范围．f（x）有两个不同实根x1，x2．两根满足lnx1＝（a+1）x1，lnx2＝（a+1）x2，两式相加得：ln（x1x2）＝（a+1）（x1+x2），两式相除得．不妨设x1＜x2，要证：x1•x2＞e2．只需证：ln（x1x2）ln2．即证ln2•．设t1，令F（t）＝lntlnt2，利用导数研究函数单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝lnx+x2﹣3x（x＞0）．
f′（x）2x﹣3，
令f′（x）＝0，得x＝1或x
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
则f（x）在x处取得极大值，在x＝1处取得极小值．
极大值为ln2，极小值为f（1）＝﹣2．
（2）函数f（x）的定义域是[1，e]．
f′（x）ax﹣（a+1）（a＞0）．
当a＞0时，令f′（x）＝0有两个解，x＝1或x．
1°当，即e时，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＝1ae2﹣（a+1）e，
2°当1，即1e时，
当x∈时，f′（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，
当x∈时，f′（x）＞0，∴f（x）在上单调递增
∴f（x）在[1，e]上的最小值是flna1，
3°当a≥1，即时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）a﹣1．
综上，Q（a）．
（3）关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，即lnx﹣（a+1）x＝0有两个不同实根x1，x2，
得a+1，令g（x）（x＞0），g′（x），
令g′（x）＝0，得x＝e，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴x＝e时，g（x）取得最大值，且g（1）＝0，得图象如下：
∴a+1∈．
即当﹣1＜a1时，f（x）有两个不同实根x1，x2．
两根满足lnx1＝（a+1）x1，lnx2＝（a+1）x2，
两式相加得：ln（x1x2）＝（a+1）（x1+x2），两式相减地（a+1）（x2﹣x1），
上述两式相除得．
不妨设x1＜x2，要证：x1•x2＞e2．
只需证：ln（x1x2）ln2．
即证ln2•．
设t1，令F（t）＝lntlnt2，
则F′（t）0，
∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，且F（1）＝0．
∴F（t）＞0，即lnt，∴x1•x2＞e2．

【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分析法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

考点卡片
1．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
2．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
3．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）

【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解：，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．

典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．

（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．

【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）或f′（x0）
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．

2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．

【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．

题型二：求切线方程
典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．

【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
5．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．

共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1•y2﹣x2•y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝　﹣0.5　．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．直线的斜率
【考点归纳】
1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α）
（2）斜率公式：k．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．
【命题方向】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
常见题型：
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
12．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
13．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
14．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

15．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
16．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

17．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
18．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．


1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．

2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：

（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．

1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．


19．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
20．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
21．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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