专题65 含有条件概率的随机变量问题（解析版）学案

这是一份专题65 含有条件概率的随机变量问题（解析版）学案，共20页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。

专题65 含有条件概率的随机变量问题
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用，其中不乏含有条件概率的问题．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.此类问题，概率统计问题一同考查.难度控制在中等．
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.
1、条件概率：事件在事件已经发生的情况下，发生的概率称为在条件下的条件概率，记为
2、条件概率的计算方法：
（1）按照条件概率的计算公式：
（2）考虑事件发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件在这种情况下的概率
例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：
按照（1）的方法：设事件为“甲没中奖”，事件为“乙中奖”，则所求事件为，按照公式，分别计算，利用古典概型可得：，，所以
按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖.那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为
3、含条件概率的乘法公式：设事件，则同时发生的概率
，此时通常用方案（2）进行计算
4、处理此类问题要注意以下几点：
（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）
（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别
（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决.

【经典例题】
例1．（2020·江西高三三模）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知：事件：甲和乙至少一人选择庐山共有：种情况，事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，
共有种情况，
.
故选：D
例2．（2020·河南罗山县教学研究室高三三模）甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，
甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；
事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；
所以.
故选：A.
例3．（2020·湖南长郡中学高三三模）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________．
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件
【答案】②④
【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；
因为，
所以，故②正确；
同理，
所以，
故①③错误.
故答案为：②④
例4．（2020·肥东县综合高中高三三模）小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：个黑球2个红球；个红球；恰有1个白球；恰有2个白球；个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；
（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利元，求变量的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求的最大值.
【答案】(1)中一至四等奖分别对应的情况是.(2);(3)194.
【解析】（1）；，，
，
∵，
∴中一至四等奖分别对应的情况是.
（2）记事件为顾客摸出的第一个球是红球，事件为顾客获得二等奖，则.
（3）的取值为，则分布列为

由题意得，若要不亏本，则，
解得，即的最大值为194.
例5．（2020·怀仁市第一中学校高三三模）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4

保费







设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4

概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23．
【解析】（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为





























因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
例6．（2020·全国高三三模）某一段海底光缆出现故障，需派人潜到海底进行维修，现在一共有甲、乙、丙三个人可以潜水维修，由于潜水时间有限，每次只能派出一个人，且每个人只派一次，如果前一个人在一定时间内能修好则维修结束，不能修好则换下一个人.已知甲、乙、丙在一定时间内能修好光缆的概率分别为，且各人能否修好相互独立.
（1）若按照丙、乙、甲的顺序派出维修，设所需派出人员的数目为X，求X的分布列和数学期望；
（2）假设三人被派出的不同顺序是等可能出现的，现已知丙在乙的下一个被派出，求光缆被丙修好的概率.
【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）.
【解析】（1）X的可能取值为1，2，3.
；
；
.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
0.4
0.3
0.3



.
（2）由题意知，三人的顺序只可能有两种：“甲、乙、丙”或“乙、丙、甲”，且概率都为.
若为“甲、乙、丙”，则光缆被丙修好的概率为.
若为“乙、丙、甲”，则光缆被丙修好的概率为.
所以光缆被丙修好的概率为.
例7．（2020·河北唐山·高三三模）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为.
（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若，比赛结束时，设甲获胜局数为，求其分布列和期望；
（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）设甲在第一局失利，甲获得了比赛的胜利，则；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，.
随机变量的分布列如下：








则；
（3）甲获得该场比赛胜利的概率为，则.
即，解得，所以的取值范围是.
例8．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三三模）哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品.并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件，“箱中有件非优质产品”为事件.
（1）求，，；
（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设为非优质产品的盒数，求的分布列及期望；
（3）若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
【答案】（1），，（2）见解析，（3）该方案无效.
【解析】解:（1）由已知,,
（2）可能的取值为0,1,2,
所以,,,
所以随机变量的分布列为:

0
1
2





所以.
（3）由（1）知,,
按照设计方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为,
因为,所以该方案无效.
【精选精练】
1．（2020·江苏省溧阳中学高三三模）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，.
故选：B
2．（2020·重庆高三三模）2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，
则P（AB），P（B），
P（A|B），
故选：A．
3．（2020·黑龙江大庆实验中学高三三模）2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
∴．
故选：A．
4．（2020·山东济宁·高三三模）已知是一个三位正整数，若的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称为三位递增数．已知，设事件A为“由组成三位正整数”，事件B为“由组成三位正整数为递增数”则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
所以由组成的三位正整数有个，即
其中满足为递增数的有以下三类：
①当百位为2时，有1个，②当百位为3时，有个
③当百位为4时，有个
所以
所以
故选：B
5．（2020·广西师范大学附属中学高三三模）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( )
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件.
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
【答案】A
【解析】由题意，，是两两互斥的事件，
，，；
，由此知，②正确；
，；
而

.
由此知①③不正确；
，，是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确；
故选：A.
6．（2020·河北高三三模）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
（1）设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得，
，
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是.
（2）设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件“田忌获得本场比赛胜利”，
由题意得，
，
则本场比赛田忌胜利的概率是.
（3）.
7．（2020·湖北武汉·高三三模）某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.
（1）求，并证明数列是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
【答案】（1），证明见解析；（2）分布列见解析，；（3）产品320份、产品480份.
【解析】解：（1）
依题意，知，则
当时，可得
∴数列是首项为公比为的等比数列.
（2）第二次买A产品的概率；第二次买B产品的概率
∴第二次来的3人中有个人购买产品，的所有可能取值为0、1、2、3
有
∴的分布列为

0
1
2
3





故，
（3）由(1)知：
∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为
故，公司每天应至少准备产品320份、产品480份
8．（2020·吉林东北师大附中高三三模）随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有（，）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为（）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．

（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、（用和表示）；
（ii）比较与的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；
（2）设，，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）（i），（ii），按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）见解析，
【解析】（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性；
按方案②建立的电路系统的可靠性为；
（ii）．
令，且，则．
当时，，从而，所以在上单调递增；
当时，，即．
所以，，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．
（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为，由此可知，．
，，，
，；
所以，随机变量的分布列为

0
1
2
3
4






．
9．（2020·邯郸市永年区第二中学高三三模）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市为拟定出台“房产限购的年龄政策”为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，对年龄在岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如下：

年龄





支持的人数
15
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；

44岁以下
44岁及44岁以上
总计
支持



不支持



总计



（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会．现从这8人中随机抽2人．
①抽到1人是44岁以下时，求抽到的另一人是44岁以上的概率．
②记抽到44岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：










，其中．
【答案】（1）列联表详见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）①；②分布列详见解析，数学期望为．
【解析】（1）由统计数据填列联表如下，

44岁以下
44岁及44岁以上
合计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
合计
50
50
100
计算观测值，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；
（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，
①抽到1人是44岁以下的概率为，抽到1人是44岁以下且另一人是44岁以上的概率为．故所求概率为．
②根据题意，X的可能取值是0，1，2；
计算，
，
，
可得随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P



故数学期望为．
10．（2020·四川棠湖中学高三三模）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级
不合格
合格
得分




频数
6
a
24
b
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望.
【答案】（1）64，65；（2）；（3）.
【解析】由题意知，样本容量为，，
，.
（1）平均数为，
设中位数为x，
因为，，
所以，则，
解得.
（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，
则，，所以.
（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为.
由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20
，，，
，.
所以的分布列为

0
5
10
15
20
P





.
11．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三三模）甲、乙两位同学各有张卡片，现以投掷一枚骰子的形式进行游戏，当掷出奇数点时．甲赢得乙卡片一张，当掷出偶数点时，乙赢得甲卡片一张．规定投掷的次数达到次，或在此之前某人赢得对方所有卡片时，游戏终止.
（1）设表示游戏终止时投掷的次数，求的分布列及期望；
（2）求在投掷次游戏才结束的条件下，甲、乙没有分出胜负的概率．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）.
【解析】（1）可能取值为、、，
，，.
随机变量的分布列如下表所示：








所以，随机变量的数学期望为；
（2）令投次没分出胜负的事件为，投掷次游戏才结束为事件，投次能分出胜负的事件为，
则，，
，.
12．（2020·江西高三三模）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，己知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将位居民分成组，每组人；
方案二：将位居民分成组，每组人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据：，）
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”
由题意可得，
由条件概率公式得：
即
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为
（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为


所以的分布列为






所以
即方案一检测的总次数的期望为
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为
；
所以的分布列为






所以
即方案二检测的总次数的期望为
由，则方案二的工作量更少.