1．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：

　甲　　　　　　乙

(1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

[解析]　设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。

(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝

做匀速圆周运动的周期T0＝

由以上两式得磁感应强度B0＝

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有

R＝(n＝1,2,3…)

联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝＝(n＝1,2,3…)。

[答案]　(1)　(2)(n＝1,2,3…)

2．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带正电荷量为q的粒子(不计重力)，在t＝0时刻平行于Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定磁场向外的方向为正。求：

甲　　　　　　　乙　

(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0；

(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，磁感应强度变化周期T的最大值；

(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时速度大小v0。

[解析]　(1)由qvB0＝m及T＝得T0＝。

(2)如图(a)所示，若使粒子不能从Oa边射出，则有

sin α＝，α＝30°。

在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为t＝T0＝

　(a)　　　　　　(b)

而t＝，所以磁场变化的最大周期为T＝。

(3)若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图(b)所示。在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为2β，其中β＝45°，即＝，所以磁场变化的周期为T＝，每一个圆弧对应的弦长OM为s＝(n＝2,4,6…)，圆弧半径为R＝＝。由qv0B0＝m得：v0＝(n＝2,4,6…)。

[答案]　(1)　(2)

(3)　(n＝2,4,6…)

3．如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0，现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：

甲　　　　　　　　乙　

(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；

(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

[解析]　(1)当粒子由t＝nT(n＝0,1,2…)时刻进入电场，向下侧移最大，则s1＝＋－＝。

当粒子由t＝nT＋(n＝0,1,2…)时刻进入电场，向上侧移最大，则s2＝＝，

在距离中点O2下方至上方的范围内有粒子射出。

打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为vy＝·＝，

所以射出速度大小为v＝＝＝。

设速度方向与v0的夹角为θ，

则tan θ＝＝，θ＝30°。

(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界某一点且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，

粒子宽度D＝(s1＋s2)cos 30°，

即D＝ cos 30°＝。

故磁场区域的最小半径为r＝＝，

而粒子在磁场中做匀速圆周运动有qvB＝m，解得B＝。

[答案]　(1)见解析　(2)　

4．如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图象如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向。t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为。求：