初中数学湘教版九年级上册3.6 位似课堂检测

这是一份初中数学湘教版九年级上册3.6 位似课堂检测，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.下列关于位似图形的说法:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2.下列语句正确的是( )
A．相似图形都是位似图形，位似图形都是相似图形
B．位似图形都是相似图形，且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
3.如图所示的图形中是位似图形的有( )

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4.如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M B．点N C．点O D．点P

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图，已知BC∥DE，下列说法不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE∶AD是位似比
D．点B与点E，点C与点D是对应点
6.【2020·重庆B卷】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
7.【中考·邵阳】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO∶AA′＝1∶2
D．AB∥A′B′
8.如图，△ABC位似图形的几种画法中正确的有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR

第9题图 第11题图 第12题图
10.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 ( )
11.如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F顺次连结，得到△DEF.下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1.其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是( )
A．位似中心是点B，相似比是2∶1
B．位似中心是点D，相似比是2∶1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2∶1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1∶2
二、填空题
13.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小得到△A'B'C'.若AA'=2OA',则△ABC与△A'B'C'的周长比为 .

第13题图 第14题图 第15题图
14.【中考·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________.
15.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
16.如图，△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，OA=2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________.

第16题图 第17题图 第18题图
17.如图，O是△ABC内任意一点，D，E，F分别为AO，BO，CO上的点，且AD＝eq \f(1,3)AO，BE＝eq \f(1,3)BO，CF＝eq \f(1,3)CO，则△ABC与△DEF是位似三角形，此时两三角形的位似中心是________，位似比是________．
18.如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的是 .(填序号)
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2;
④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.
三、解答题
19.【2020·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为2的△A2B2C2.
20.如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对三角形是位似图形？
(2)选择其中一对加以证明．
21.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的位似比．
22.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似图形吗?若是,请说出位似中心,并求出位似比;若不是,请说明理由.
(2)连接DG交AC于点H,作HI⊥BC于点I,试确定CIBC的值.
23.用位似作图的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：如图①，①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC交OA于点C′，E′D′∥ED交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
(1)求证：△C′D′E′是等边三角形；
(2)如图②，求作：内接于△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE∶EF＝1∶2.
24.【2020·昆明八中期末】已知正三角形ABC的
边长为3＋eq \r(3).
(1)如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
OA＝OA′
OA＝AA′
OA＝2AA′
OA＝eq \f(1,2)AA′
A
B
C
D
参考答案
一、选择题
1.下列关于位似图形的说法:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的个数是( B )
A.1B.2C.3D.4
2.下列语句正确的是( B )
A．相似图形都是位似图形，位似图形都是相似图形
B．位似图形都是相似图形，且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
3.如图所示的图形中是位似图形的有( C )

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4.如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( D )
A．点M B．点N C．点O D．点P

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图，已知BC∥DE，下列说法不正确的是( C )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE∶AD是位似比
D．点B与点E，点C与点D是对应点
6.【2020·重庆B卷】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( C )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
7.【中考·邵阳】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( C )
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO∶AA′＝1∶2
D．AB∥A′B′
8.如图，△ABC位似图形的几种画法中正确的有( D )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( A )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR

第9题图 第11题图 第12题图
10.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 ( D )
11.如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F顺次连结，得到△DEF.下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1.其中结论正确的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】△ABC与△DEF的周长比是2:1，只有③错误．
12.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是( C )
A．位似中心是点B，相似比是2∶1
B．位似中心是点D，相似比是2∶1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2∶1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1∶2
二、填空题
13.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小得到△A'B'C'.若AA'=2OA',则△ABC与△A'B'C'的周长比为 .
【答案】3∶1

第13题图 第14题图 第15题图
14.【中考·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________.
【点拨】以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
OA＝2，AC＝3，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(2,2＋3)＝eq \f(2,5).
【答案】eq \f(2,5)
15.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
【答案】5
16.如图，△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，OA=2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________.
【答案】18

第16题图 第17题图 第18题图
17.如图，O是△ABC内任意一点，D，E，F分别为AO，BO，CO上的点，且AD＝eq \f(1,3)AO，BE＝eq \f(1,3)BO，CF＝eq \f(1,3)CO，则△ABC与△DEF是位似三角形，此时两三角形的位似中心是________，位似比是________．
【答案】点O eq \f(3,2)
18.如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的是 .(填序号)
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2;
④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.
【答案】①②④
三、解答题
19.【2020·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为2的△A2B2C2.
解：如图所示，△A2B2C2即为所求．
20.如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对三角形是位似图形？
解：△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对．
(2)选择其中一对加以证明．
【点拨】(2)题答案不唯一．
解：△DFE与△DBA是位似图形．
证明：∵AB∥EF，∴△DFE∽△DBA.
又∵这两个三角形的对应点的连线交于一点D，
∴△DFE与△DBA是位似图形．
21.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的位似比．
解：如图，连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求．
∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，
∴OC∶OF＝3∶2，
∴△ABC与△DEF的位似比为3∶2.
22.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似图形吗?若是,请说出位似中心,并求出位似比;若不是,请说明理由.
(2)连接DG交AC于点H,作HI⊥BC于点I,试确定CIBC的值.
解:(1)∵FG⊥BC,AB⊥BC,
∴FG∥AB,∴△ABC∽△FGC.
又∵△ABC与△FGC对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行或重合,∴△ABC与△FGC是位似图形,位似中心是点C.
∵BO=OD,OE∥CD,∴DCOE=BDOB=2,
∴CFFO=DCOE=2,∴CGCE=23,∴CGCB=13,
∴△ABC与△FGC的位似比为3.
(2)由(1)得,EGEC=13,FG∥CD,
∴FGCD=EGEC=13,∴CICG=CHCF=34.
又∵CGCE=23,∴CICE=12,∴CIBC=14.
23.用位似作图的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：如图①，①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC交OA于点C′，E′D′∥ED交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
(1)求证：△C′D′E′是等边三角形；
证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE∶C′E′＝OE∶OE′，DE∶D′E′＝OE∶OE′，
∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，
∴CE∶C′E′＝DE∶D′E′，∠CED＝∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′.
∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．
(2)如图②，求作：内接于△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE∶EF＝1∶2.
解：画法：如图，①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′E′∶D′G′＝1∶2；
②连接AE′并延长，交BC于点E，连接AF′并延长，交BC于点F，过点E作ED∥E′D′，交AB于点D，过点F作FG∥F′G′，交AC于点G；
③连接DG，则四边形DEFG是△ABC的内接矩形．
24.【2020·昆明八中期末】已知正三角形ABC的
边长为3＋eq \r(3).
(1)如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；

解：如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
解：设正方形E′F′P′N′的边长为x.
∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝eq \f(\r(3),3)x.
∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，∴x＋eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)x＝3＋eq \r(3)，
∴x＝eq \f(9＋3\r(3),2\r(3)＋3)，即x＝3eq \r(3)－3.
∴正方形E′F′P′N′的边长为3eq \r(3)－3.
(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
解：这两个正方形面积和的最大值是99－54eq \r(3)，最小值是eq \f(9,2).理由如下：如图②，连结NE，EP，PN，则∠NEP＝90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m，n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝eq \r(2)m，PE＝eq \r(2)n，
∴PN2＝NE2＋PE2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)，
∴S＝m2＋n2＝eq \f(1,2)PN2.
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.
在Rt△PGN中，PN2＝PG2＋GN2＝(m＋n)2＋(m－n)2.
∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，
易得eq \f(\r(3),3)m＋m＋n＋eq \f(\r(3),3)n＝eq \r(3)＋3，化简得m＋n＝3.
∴S＝eq \f(1,2)[32＋(m－n)2]＝eq \f(9,2)＋eq \f(1,2)(m－n)2.
①当(m－n)2＝0时，即m＝n时，S最小，∴S最小＝eq \f(9,2)；
②当(m－n)2最大时，S最大，即当m取最大值且n取最小值时，S最大．∵m＋n＝3，由(2)知，m最大＝3eq \r(3)－3，
可得n最大＝6－3eq \r(3).∴S最大＝eq \f(1,2)[9＋(m最大－n最小)2]
＝eq \f(1,2)[9＋(3eq \r(3)－3－6＋3eq \r(3))2]＝99－54eq \r(3).
综上所述，这两个正方形面积和的最大值是99－54eq \r(3)，
最小值是eq \f(9,2).
OA＝OA′
OA＝AA′
OA＝2AA′
OA＝eq \f(1,2)AA′
A
B
C
D