专题49 离心率及其范围问题（解析版）学案

这是一份专题49 离心率及其范围问题（解析版）学案，共14页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线 离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一般说来，小题的难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
【经典例题】
例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．
【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是双曲线的定义及几何性质的应用．
例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 ．
【答案】
【思路导引】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解．
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，
所以，，故答案为：
【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系．
例3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由得渐近线方程为，又，
则，，，得离心率．
【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系．
例4．（2020·山西大同·高三三模）椭圆的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形，
所以，，
所以，，
又，即，则，
故椭圆的离心率为.
故选：D.
例5．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】设线段AB的中点坐标为，
则有，
设，代入双曲线方程有，
两式相减得，

可得，即，
.
故选:D.
例6．（2020·广西柳州·高三三模）已知点分别是双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，，根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．由双曲线的定义可得，，又
，可得．所以可化为
，即，而，
，解得，又，
．故选：A．
例7．（2020·安徽合肥·高三三模）设椭圆的左、右焦点分别是、 ，是椭圆上一点，且与轴垂直，直线与椭圆的另一个交点为．若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知点为第二象限内的点，设点，则，
将代入椭圆的方程可得，，解得，
所以，点的坐标为，
直线的斜率为，整理得，
，解得，因此，椭圆的离心率为.
故选：B.
例8．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三三模）已知椭圆C：（）的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：与椭圆C相交于A，B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得，，
所以，解得，
因为点P到直线l的距离不小于，所以，解得，
又由，所以，故，
所以离心率.
故选：C.
【精选精练】
1．（2020·江西昌江·景德镇一中高三三模）已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），
所以为椭圆的一条通径，
所以，，，，
因为，
所以，即：，
整理得：，
所以.
故选：C.
2．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
3．（2020·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三三模）椭圆中心为原点，且焦点在轴上，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的方程为，点，即有．
因为，所以即，又点在椭圆上，
有，联立解得，而，∴即．
故，又，∴．故选：B．
4．（2020·北京高三三模）若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，
因为渐近线过点，所以，所以，
所以，
故选：C
5．（2020·河南洛阳·高三三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一、三象限内分别交于点，，四边形的面积为，周长为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点在以为直径的圆上，则，则四边形是矩形，根据题意可得：解得，，
所以：，，所以，
故选：B.
6．（2020·广西南宁三中高三三模）圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，
圆，圆心，半径
因为圆上有且仅有两点到的距离为1，
所以圆心到的距离的范围为
即，
而
所以，即
故选C项.
7．（2020·广西南宁三中高三三模）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
设，则，
因为，所以可得，
因为，所以，则，
所以，
故选：D
8．（2020·安徽高三三模）已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，
则，
点在双曲线的右支上，
，，
又，，即，
得，又，
．故选：D．
9．（2020·河南高三三模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，可得，如下图所示：
由于的平分线过点，则，
即，，，
在中，由勾股定理可得，即，
，因此，椭圆的离心率为.
故选：D.
10．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三三模）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】
若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,
所以 是直角三角形，且 ,
所以由勾股定理，得，得,
故选B.
11．（2020·江苏如皋·高三三模）在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若，则椭圆C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
代入得：
，
，
，，
，
，
，
故选：A.
12．（2020·邵东县第十中学高三三模）设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆的焦点为，，
根据正弦定理可得
∴，.
设，，则，
由余弦定理得 ，
∴，∴，
又，
∴即，
故，解得：或（舍）.
故选：.