人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质学案设计

3.1.2　两条直线平行与垂直的判定

1．两条直线平行与斜率之间的关系

思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？

[提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．

2．两条直线垂直与斜率之间的关系

思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？

[提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．

1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)

A．－3　　　B．3　　　C．－　　　D．

B　[kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.]

2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　)

A．平行     B．垂直

C．重合     D．非以上情况

B　[∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.]

3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．

0　[∵kl2＝＝－1，l1∥l2，

∴kl1＝＝－1，∴m＝0.]

4．若直线l1的斜率kl1＝m，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．

－或不存在　[若m＝0时，直线l2的斜率不存在．

若m≠0时，直线l2的斜率为－.]

两直线平行关系的判定

【例1】　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；

(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；

(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).

[解]　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，

又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.

(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．

(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．

(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.

判断两条不重合直线是否平行的步骤

1．已知l1经过点A(－3，3)，B(－8，6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.

[证明]　直线l1的斜率为k1＝＝－，

直线l2的斜率为k2＝＝－，

因为k1＝k2，且kAN＝＝－，

所以l1与l2不重合，

所以l1∥l2.

两直线垂直关系的判定

【例2】　判断下列各题中l1与l2是否垂直．

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；

(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；

(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).

[解]　(1)k1＝＝2，k2＝＝，

k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．

(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.

(3)由A，B的横坐标相等得

l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．

k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.

使用斜率公式判定两直线垂直的步骤

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．

2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值．

[解]　设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.

①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意；

②当a＝0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1＝－不符合题意；

③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.

由k1·k2＝－1，得－·＝－1，

解得a＝3或a＝－4.

∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

两直线平行与垂直的综合应用

[探究问题]

1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？

[提示]　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.

∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．

2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？

[提示]　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0).

【例3】　△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．

[解]　因为∠A为直角，则AC⊥AB，

所以kAC·kAB＝－1，

即·＝－1，得m＝－7.

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利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤

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1．两条不重合的直线平行或垂直的判定方法

2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．

1．下列说法正确的是(　　)

A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2

B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1

C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴

D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行

D　[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]

2．过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为(　　)

A．垂直　 B．平行

C．重合     D．以上都不正确

A　[k1＝＝－＋，

k2＝＝－，

∵k1k2＝－1，∴两直线垂直．选A.]

3．若经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．

　[由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，

所以kMN＝＝，解得m＝.]

4．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．

[解]　(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，

解得m＝－或m＝1.

(2)由kAB＝，且＝3，

则＝－，解得m＝或m＝－3.

(3)令＝＝－2，

解得m＝或m＝－1.