人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试学案及答案

第三章 直线与方程

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

直线的倾斜角与斜率

【例1】　(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．

(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

[解]　(1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．

直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.

∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，

∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－.

(2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，

即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.

求直线的倾斜角与斜率注意点

(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．

(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．

1．(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于________．

(2)如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．

(1)－9　(2)30°　[(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC.

∴＝，即b＝－9.

(2)因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.]

直线五种形式的方程的应用

【例2】　已知△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.

思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．

[解]　设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，

∵点B在中线y－1＝0上，

∴设点B的坐标为(xB，1).

∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，

∴点D的坐标为.

∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，

∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.

∴点B的坐标为(5，1).

∵点C在直线x－2y＋1＝0上，

∴设点C的坐标为(2t－1，t).

∴AC的中点E的坐标为.

∵点E在中线BE：y＝1上，

∴＝1，∴t＝－1.

∴点C的坐标为(－3，－1)，

∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.

求直线方程的方法

(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．

(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．

2．过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

[解]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.

由题意得＝1，即k＝1.

则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0

综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

两条直线的位置关系

【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．

[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.

即a2－a－b＝0，①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2.

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.

故l1和l2的方程可分别表示为

l1：(a－1)x＋y＋＝0，

l2：(a－1)x＋y＋＝0.

∵原点到l1与l2的距离相等，

∴4＝，解得a＝2或a＝.

因此或

两条直线的位置关系的判断方法及注意点

(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．

(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．

3．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)试判断l1与l2是否平行；

(2)l1⊥l2时，求a的值．

[解]　(1)若l1∥l2，

则

∴a＝－1.

∴a＝－1时，l1∥l2.

(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.

则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.

显然l1与l2不垂直．

当l2斜率存在时，a≠1.

则k2＝，k1＝－.

∵l1⊥l2，

∴k1·k2＝·＝－1.

∴a＝.

距离公式的应用

【例4】　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．

[解]　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0, 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

所以＝3，

即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.

所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax＝|PA|＝.

距离公式的运用

(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．

(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．

(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．

4．若P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]

对称问题

[探究问题]

1．怎样求点关于点的对称点？

[提示]　设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．

2．怎样求点关于直线的对称点坐标？

[提示]　设出所求点坐标(x, y)，利用中点坐标公式建立关于x, y的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．

【例5】　光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．

[解]　设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则

解之得，A′(－4，－3).

由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，

所以反射光线所在直线的方程为

y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.

解方程组得反射点P.

所以入射光线所在直线的方程为

y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.

综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0；4x－5y＋1＝0.

1．点关于直线对称的点的求法

点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点

M(x，y)可由方程组

求得．

2．直线关于直线的对称的求法

求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．

5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若|PA|＋|PB|取最小值，求点P的坐标．

[解]　点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连线A′B与直线x＋y＝0的交点，即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－，与x＋y＝0联立得x＝，y＝－.故点P.