2020-2021学年4.1 圆的方程学案及答案

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1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
思考：平面内确定圆的要素是什么？
[提示] 圆心坐标和半径．
2. 点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，半径为r.
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C.(－2，3)， eq \r(2) D．(2，－3)， eq \r(2)
D [由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为 eq \r(2).]
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A.x2＋y2＝2
B.x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8
D.x2＋y2＝ eq \r(2)
B [以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]
3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆外 B．在圆内
C.在圆上 D．不确定
A [∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]
4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．
(x＋2)2＋y2＝10 [因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]
求圆的标准方程
【例1】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．
[解] 法一：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－a）2＋（－1－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（1－b）2＝r2，,a＋b－2＝0，))
解此方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a，2－a).
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|.
∴ eq \r(（a－1）2＋（2－a＋1）2)＝ eq \r(（a＋1）2＋（2－a－1）2)，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB＝ eq \f(1－（－1）,－1－1)＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即圆心为(1，1)，圆的半径为 eq \r(（1－1）2＋[1－（－1）]2)＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
确定圆的方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；
(3)以点A(3，－2)，B(－5，4)为直径两端点的圆的方程．
[解] (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)|AB|＝ eq \r(（3＋5）2＋（－2－4）2)＝10.
∴半径r＝5.
又圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－5,2)，\f(－2＋4,2)))，即(－1，1).
所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
点与圆的位置关系
【例2】 已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
[解] 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝ eq \r(（－3－0）2＋（－4－0）2)＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝ eq \r(（－1＋3）2＋（0＋4）2)＝ eq \r(4＋16)＝2 eq \r(5)<5，
所以P1(－1，0)在圆内；
因为|P2C|＝ eq \r(（1＋3）2＋（－1＋4）2)＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝ eq \r(（3＋3）2＋（－4＋4）2)＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可.
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
[解] 由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－ eq \f(5,2).∵a≠0，
∴a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)， 0))∪(0，＋∞).
与圆有关的最值问题
[探究问题]
1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？
[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．
2．若点P(x, y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？
[提示] 可先求出圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．
【例3】 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝ eq \f(1,4)，试求x2＋y2的最值．
思路探究：首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
[解] 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)，最小距离为1－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分别为 eq \f(9,4)和 eq \f(1,4).
1．本例条件不变，试求 eq \f(y,x)的取值范围．
[解] 设k＝ eq \f(y,x)，变形为k＝ eq \f(y－0,x－0)，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，
由k＝ eq \f(y,x)，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即 eq \f(|－k|,\r(k2＋1))≤ eq \f(1,2)，解得－ eq \f(\r(3),3)≤k≤ eq \f(\r(3),3).
即 eq \f(y,x)的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).
2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
[解] 令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有 eq \f(|－1－b|,\r(2))＝ eq \f(1,2)，解得b＝± eq \f(\r(2),2)－1，即最大值为 eq \f(\r(2),2)－1，最小值为－ eq \f(\r(2),2)－1.
3．本例条件不变，求圆上点P与A(－3，0)、B(0，－3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值．
[解] |AB|＝ eq \r(（－3）2＋（－3）2)＝3 eq \r(2).
圆心(－1，0)到直线AB：y＝－x－3的距离为
d＝ eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2)，
∵圆(x＋1)2＋y2＝ eq \f(1,4)的半径为 eq \f(1,2)，
∴点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为 eq \r(2)＋ eq \f(1,2)， eq \r(2)－ eq \f(1,2).
∴S△PAB的最大值和最小值分别为：
(S△ABP)max＝ eq \f(1,2)×3 eq \r(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(1,2)))＝ eq \f(12＋3\r(2),4)，
(S△PAB)min＝ eq \f(1,2)×3 eq \r(2)×( eq \r(2)－ eq \f(1,2))＝ eq \f(12－3\r(2),4).
与圆有关的最值问题的常见类型及解法：
(1)形如u＝ eq \f(y－b,x－a) 形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．简称斜率型．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ eq \f(a,b) x＋ eq \f(l,b) 截距的最值问题．简称截距型．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．简称距离型．
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．判断点(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的方法：
假设点(x0，y0)与圆心的距离为d，则
d＞r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔在圆外；
d＝r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔在圆上；
d＜r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔在圆内．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．
1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( )
A.x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C.(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
A [由题意，圆的半径r＝ eq \r(（0－3）2＋（4－0）2)＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A.－1 B．1
C.3 D．－3
B [圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2).
由条件知，(－1，2)适合于方程3x＋y＋a＝0，
所以－3＋2＋a＝0解得a＝1，故选B.]
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
(x＋2)2＋y2＝4 [由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]
4．点(5 eq \r(a)＋1， eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
[0，1) [由于点在圆的内部，所以(5 eq \r(a)＋1－1)2＋( eq \r(a))2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]
5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
[解] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，
即r＝ eq \r(5)，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)
2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养．
d与r的大小
点与圆的位置
d点P在圆内
d＝r
点P在圆上
d>r
点P在圆外