高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案及答案

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1．两条直线的交点坐标
2.两直线的位置关系
法一：代数法
直线l1，l2联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(唯一解,无穷多解,无解))⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l1，l2相交，,l1，l2重合，,l1，l2平行．))
(代数问题) (几何问题)
法二：几何法(前提条件：系数均不为零)
eq \a\vs4\al(方,程,组) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(唯一解⇔\f(A1,A2)≠\f(B1,B2)⇔l1，l2相交，,无穷多解⇔\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)⇔l1，l2,重合，,无解⇔\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)⇔l1，l2平行．))
3．两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ eq \r(x2＋y2)．
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)的形式？
[提示] 可以，原因是 eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
C [由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))得交点坐标为(1，2)，故选C.]
2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B． eq \r(5) C．3 D． eq \r(29)
B [由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝ eq \r(（3－2）2＋（7－5）2)＝ eq \r(5).]
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 eq \r(3) B．3＋2 eq \r(3)
C．6＋3 eq \r(2) D．6＋ eq \r(10)
C [|AB|＝ eq \r(（2＋1）2＋32)＝3 eq \r(2)，|BC|＝ eq \r(（2＋1）2＋0)＝3，|AC|＝ eq \r(（2－2）2＋32)＝3，则△ABC的周长为6＋3 eq \r(2).]
4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
1或－5 [由两点间距离公式得 eq \r(（a＋2）2＋（3＋1）2)＝5，解得a＝1或－5.]
两直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[解] (1)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0))有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0))无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
两条直线相交的判定方法
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
[解] (1)解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))
所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
(2)解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝ eq \r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2 eq \r(13)，
|AC|＝ eq \r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2 eq \r(13)，
又|BC|＝ eq \r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2 eq \r(26)，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝ eq \f(7－1,1－（－3）)＝ eq \f(3,2)，kAB＝ eq \f(－3－1,3－（－3）)＝－ eq \f(2,3)，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝ eq \r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2 eq \r(13)，
|AB|＝ eq \r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2 eq \r(13)，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．
[解] 因为|BD|= eq \f(1,2)|BC|=2，因为|AD|＝ eq \r(（5－3）2＋（4－0）2)＝2 eq \r(5).
在Rt△ABD中，由勾股定理得
|AB|＝ eq \r(|AD|2＋|BD|2)＝ eq \r(20＋4)＝2 eq \r(6).
所以等腰△ABC的腰长为2 eq \r(6).
经过两条直线交点的直线方程
[探究问题]
1. 如何求两条直线的交点坐标？
[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．
2．已知直线过一定点如何求其方程？
[提示] 已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可．
3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？
[提示] 过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程).
【例3】 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
思路探究： eq \x(求直线方程)→ eq \x(待定系数法求方程)→ eq \x(条件确定系数)
[解] 法一：解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)，))所以两直线的交点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(7,5))).
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋ eq \f(7,5)＝－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0， ,（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，))得λ＝ eq \f(11,2).
代入(*)式，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(11,2)))x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)－3))y＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(11,2)－3))＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解] 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(7,5)))，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－ eq \f(1,3)，所以直线l的方程为y＋ eq \f(7,5)＝－ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－ eq \f(3,4)，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
B [设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.]
1．方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))
B [由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5＝0，,3x＋5y－6＝0，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝1.))]
2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )
A.x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0
C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0
D [由两点间距离公式得
eq \r(（x＋1）2＋（y－3）2)＝ eq \r(（x－5）2＋（y－1）2)，
整理得3x－y－4＝0.]
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
－1 [由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝10，,2x－y＝10，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2.))
把x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.]
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则 eq \f(|AC|,|CB|)＝________．
2 [由两点间的距离公式，得|AC|＝ eq \r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4 eq \r(2)，
|CB|＝ eq \r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2 eq \r(2)，故 eq \f(|AC|,|CB|)＝ eq \f(4\r(2),2\r(2))＝2.]
5．已知点A(－1，2)，B(2， eq \r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得
eq \r(（x＋1）2＋（0－2）2)＝ eq \r(（x－2）2＋（0－\r(7)）2)，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1，0)，
|PA|＝ eq \r(（1＋1）2＋（0－2）2)＝2 eq \r(2).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)
3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)
1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．
2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))
方法一
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二
两直线斜率都存在且斜率不等
方法三
两直线的斜率一个存在，另一个不存在