专题69 极坐标与参数方程（解析版）学案

专题69  极坐标与参数方程

【热点聚焦与扩展】

极坐标与参数方程是高考选考内容之一，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等.题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

（一）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）

（二）参数方程：

1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法

（1）代入消参：

（2）整体消参：，由可得：

（3）平方消参：利用消去参数

例如：

3、常见图形的参数方程：

（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角

（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角

（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角

（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数

（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数21】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）．

【思路导引】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，，曲线的参数方程化为为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解．

【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，

∴曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．

（2）当时，曲线的参数方程为（为参数），∴，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，

曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，

联立方程，整理得，解得或（舍去），，公共点的直角坐标为．

【专家解读】本题考查了参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查转化与化归思想，考查数学运算学科素养，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围．

例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数21】 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．

（1）将的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．

【答案】（1）；；（2）．

【思路导引】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程．

【解析】（1）由得的普通方程为：，

由得：，两式作差可得的普通方程为：．

（2）由得：，即。

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，

所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为．

【专家解读】本题考查了极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养，合理消元是解题的关系．

例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文理数22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．

【答案】（1）；（2）

【思路导引】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．

【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即．

令，则，解得或（舍），则，即．

。

（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．

由可得，直线的极坐标方程为．

【专家解读】本题考查了极坐标与参数方程的综合应用，考查利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，考查转化与化归思想，考查数学运算学科素养．

例4．【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【答案】（1）（2）

【思路导引】

（1）将A,B点坐标代入即得结果；

（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【解析】

（1）

（2）

当时；当时（舍）；即所求交点坐标为当

【专家解读】本题考查了极坐标方程及其应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．

例5．（2020·云南高三三模）在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）依题意：圆的半径，

所以，圆的标准方程为：，得，

由，，，

得的极坐标方程为，

由，得的普通方程为；

（2）由（1）知的极坐标方程为，的普通方程为，

将代入得，.

设，

则到的距离（其中）,

，当时，等号成立，

.

例6．（2020·湖南师大附中高三三模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．

（1）直接写出曲线的普通方程；

（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

，即，∴．

（2）由曲线的参数方程知其普通方程为，它是以为圆心，2为半径的圆，

∵是曲线上的动点，是曲线上的动点，∴，

设，则，

∴时，，

∴．

例7．（2020·固原市五原中学高三三模）若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线的参数方程为(为参数)，，当直线与曲线相交于，两点，求.

【答案】（1）曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线；（2）.

【解析】（1）∵，∴，

∴曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线.

（2）直线的参数方程可化为，代入得.

则，，

因为在直线上，所以，

∴.

例8．（2020·云南曲靖一中高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；

（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）：，

所以，曲线的直角坐标方程是.

点的极坐标为，化为直角坐标得

（2）将直线的参数方程代入中，

整理得，，此方程有不等实数根.

直线经过定点.

设有向线段，与实数，对应，则，就是上述方程的两个实根，.

已知是线段的中点，对应于参数取值，

所以.

【精选精练】

1．（2020·四川省武胜烈面中学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（    ）

A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．

【答案】D

【解析】对曲线的方程消参可得：，即，，

作图如下：

若直线与曲线在第一象限内相切时，设其斜率为，

设直线与曲线在第一象限的切点为，且

因为，，故可得，

则，即，解得（舍去）.

故此时切点坐标为，对应直线的斜率.

当直线过点时，设其斜率为，

故可得.

数形结合可知，当直线与曲线C在第一象限内有两个交点时，

斜率的取值范围为，即为.

故选：.

2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高三三模）已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以， ，即。圆心为（1，-2），半径，因为点O到圆上的最大距离，等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D。

3．（2020·土默特左旗第一中学高三三模）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为曲线的方程为，

两边同时乘以，可得，

所以曲线的普通方程为，

曲线是以为圆心，2为半径的上半个圆.

因为直线的参数方程为（为参数），

所以直线的普通方程为，

因为，

所以当为直角时的面积最大，

此时到直线的距离 ，

因为直线与轴交于，

所以，于是，

所以，

故选D。

4．（2020·广西钦州·高三三模）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易知，曲线与均过原点，设点为原点，点的极坐标为，

联立曲线与的坐标方程，解得，因此，，

故选：B.

5．（2020·武邑宏达学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得：

曲线的直角坐标方程为，即

故点在平面直角坐标系的坐标为

点坐标为

则极坐标为

故选

6．（2020·临泽县第一中学高三三模）在极坐标系中，两条曲线，的交点为，则（  ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】

联立极坐标方程：可得：，，

利用勾股定理可得.故选C.

7．（2020·云南昆明一中高三三模）已知平面直角坐标系中，将曲线（为参数）绕原点逆时针旋转得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线分别与曲线，交于异于点的，两点，求.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为曲线表示以为圆心，2为半径的圆，其直角坐标方程为，

所以，将曲线绕原点逆时针旋转后得到以为圆心，2为半径的圆，所以其普通方程为，即，

所以，曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）得曲线的极坐标方程为，将分别代入曲线，的极坐标方程得：

，.

所以，.

8．（2020·甘肃兰州一中高三三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），此时.

【解析】

（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

9．（2020·湖南长沙·高三三模）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，在极坐标系(以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴)中，曲线的方程为，曲线，交于，两点，其中定点.

（1）若，求的值；

（2）若，，成等比数列，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵曲线的方程为，

∴，即.

∴曲线的直角坐标方程为，又已知，

∴曲线的直角坐标方程为.

将曲线的参数方程(为参数)，与联立，

得，由于，

∴设方程两根为，，则，，

∴.

（2）将曲线的参数方程(为参数)，与联立，

得，

由于，

∴设方程两根为，，则，，且，，

又，，成等比数列，

∴，得，则，即.

∴，得，

解得，又，∴，

∴当，，成等比数列时，得值为.

10．（2020·山西大同一中高三三模）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，(为参数).将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设点的极坐标为.

（1）求曲极坐标方程；

（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）曲线的普通方程为，

由，得到代入曲线的普通方程得到

的极坐极方程为

（2）点的直角坐标为，直线的参数方程为

代入中，可得

．

11．（2020·贵州遵义·高三三模）已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线的极坐标方程；

（2）若直线的斜率为，且与曲线交于两点，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

，

曲线的极坐标方程为.

（2）直线的参数方程为

代入的方程得 ，

设直线与曲线交于点，对应参数分别为，易知>0，

，

即.

12．（2020·吉林长春外国语学校高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）由，消去参数可得：

.

由，可得，

即，

整理可得.

（2）由题意判断点是直线上的点，

设、两点所对应的参数分别为，

将 代入，

可得，

其中，

，，

所以.