专题43 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（1）（解析版）学案

这是一份专题43 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（1）（解析版）学案，共27页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。

专题43 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（1）
【热点聚焦与扩展】
利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题首先通过例题说明利用空间向量证明平行或垂直问题的方法与技巧.
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点

2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上

（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意.
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的.
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略.
6、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若，则
（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：

则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3、需要计算的点
① 中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ，
（三）刻画直线与平面方向的向量
1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定
例如：，则直线的方向向量为
2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？
（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线
（2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组：
解出的比值即可
例如：，求所在平面的法向量
解：设，则有 ，解得：

（四）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）
1、判定（证明）类
（1）线面平行：
（2）线面垂直：
（3）面面平行：
（4）面面垂直：
2、计算类：
（1）两直线所成角：
（2）线面角：
（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）
（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.
（五）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧
1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标
2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标
（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标
规律：维度=所用变量个数
3、如何减少变量：
（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得
例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量
因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键）
，即——仅用一个变量表示
（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：
例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即
（六）方法与技巧
1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．
2.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
3.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．
4.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．
5.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．
【经典例题】
例1．（2020·天津南开中学三模）如图，平面，，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，
所以.
（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，
.

设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，即，则.
从而.
由（Ⅱ）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.

例2．（2020·天津滨海新·高三三模）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.
【解析】（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.

例3．（2020·全国三模）已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，点，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角的余弦值等于，求的长.
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】（1）取的中点，连接，，

∵，分别为，的中点，
∴，，
∵为矩形，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，平面，
又∵平面，∴平面.
（2）取的中点，
∵，∴，，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
建立如图坐标系，

设，则，，，，
∴，，
∴平面的法向量，，
若与平面所成角为，
∴，∴.
例4．（2020·河南高三三模）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，若，且二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）因为四棱锥的底面是矩形，所以，
平面平面，且交线为，平面，PD在平面内，
.
又因为，且，PA与AB在平面内，
所以平面，又PB在平面内，
所以.
（Ⅱ）由和（Ⅰ）可知，所以，为等腰直角三角形.如图，以为轴，为轴建立空间直角坐标系.

不妨设，则，，
则，，，，.
，，.
因为平面，所以是面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
则，可取.
所以，
根据题意可知，得，
故.
例5．（2020·上海市七宝中学高三三模）如图，已知平面，与平面所成角为 ，且

求三棱锥的体积；
设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
【答案】(1) (2)
【解析】（1）如图所示，因为平面，
所以，又，所以平面，
因为平面，与平面所成角为，故,
又由，可得,
所以,
所以.
（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线，建立空间直角坐标系，则，
可得，
设异面直线与所成角为，则,
所以异面直线与所成角为．

例6．（2020·河北高三三模）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．

（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，线段的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面

取的中点为，连接


又平面平面，平面平面，平面
平面
又平面

，平面
平面
（2）设，由（1）知，平面，平面，
如图，分别以所在直线为轴，轴，过点作轴，且平行于
建立空间直角坐标系
易得
平面的法向量为
设平面的法向量为


解得，即
从而得出，在中，
线段的长为

例7．（2020·上海市建平中学高三三模）如图，在长方体中，，，，平面截长方体得到一个矩形，且，．

（1）求截面把该长方体分成的两部分体积之比；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,
,
,
所以，．

（2）解法一：作,足为,题意，
平面，故，
所以平面,因为,
，所以，因为，
所以．又，
设直线与平面所成角为,则．
所以,直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：以、、所在直线分别为
轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
故,,
设平面一个法向量为,
则即,
所以可取．
设直线与平面所成角为,
则．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．

例8．（2020·上海市建平中学高三三模）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直线与平面所成的角．

【答案】（1）（2）
【解析】（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,，，
，
由得，即
解得．
(2) 解法一：此时

设平面的一个法向量为
由得
所以
设直线与平面所成的角为
则
所以直线与平面所成的角为
解法二：联结，则，
，平面
平面
所以是直线与平面所成的角；
在中，
所以
所以
所以直线与平面所成的角为
【精选精练】
1．（2020·山东滕州市第一中学新校高三三模）如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且
【解析】（1）证明：因为于点，
所以，
，，且，
平面，
，
平面.
（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面.
根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：

则，，
设，
则，所以，
所以，
设平面一个法向量为：，
则，即，
令，所以，
设平面一个法向量为：，
则，即，
令，所以，
因为平面平面，
所以，即
解得.
所以在线段上是否存在点，使平面平面，且.
2．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模）如图，在四面体中，是直角三角形，且有，为正三角形，且有.

（1）证明：平面平面；
（2）延长到点E，使用得，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）是直角三角形，，所以，
又，，
所以平面，平面，平面平面.
（2），两个三棱锥的高都可以是点C到平面的距离，
所以与的面积相等，即可得出，
以A为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，建立如图的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以有，，，
设向量是平面的一个法向量，
则，即，令，则；
同理设向量是平面的一个法向量，
则，即. ，令，则，
所以，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.

3．（2020·全国高三三模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且，为棱上一点，且．

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】（1）连接，交于点，连接，如图．

∵，
∴与相似，∴．
∵，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）取的中点，连接，
∵，∴．
∵平面平面，交线为，∴平面，
∴，．
以为原点、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，．如图

设，则，，，
平面的一个法向量．
设平面的法向量，则
取，
由，解得．
∴．
4．（2020·上海高三三模）如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，且已知．

（1）求球的表面积；
（2）设为中点，求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：如图，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，底面，，，，
所以，，
球的表面积是
（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则
，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，
，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为．
所以异面直线与所成角的大小为．

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1，点E在棱PC上，且DE⊥PB.

（1）求CE的长；
（2）求二面角A－PB－C的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，.
过作于，则，
设，则. ∴，
又，，∴，
∴，∴.
（2）由（1）得，.
设平面的法向量为，
则即
取，得.
易知是平面的一个法向量.
.
则二面角A－PB－C的正弦值为.
6．如图，三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC.

（1）求点B到平面PAC的距离；
（2）求二面角C－PA－B的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取AB中点O，连接OP，CO，
∵CA＝CB＝，∠ACB＝90°，
∴CO⊥AB，且AB＝2，CO＝1.∵PA＝PB＝，
∴PO⊥AB，且PO＝.
∴，∴∠POC＝90°，即PO⊥OC.
∴OA，OC，OP两两垂直.
如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，


设平面PAC的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以平面PAC的一个法向量为
∴点B到平面PAC的距离为
；
（2）是平面PAB的一个法向量，
.
∴二面角C－PA－B的余弦值为.
7．（2020·四川遂宁·高三三模）如图，在长方体ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F在线段AH上，且，BE与底面ABCD所成角为．

（1）求证：AC⊥BE；
（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（3）设点M在线段BD上，且AM//平面BEF，求DM的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）证明：因为在长方体ABCD﹣HKLE中， DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDE，
而BE⊂平面BDE，所以AC⊥BE；
（2）因为在长方体ABCD﹣HKLE中，DA，DC，DE两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：

由DE⊥平面ABCD可知∠DBE为直线BE与平面ABCD所成的角，
又因为BE与平面ABCD所成角为，所以，
所以，由AD＝3，可知，DE＝，
所以AH＝3，
又20，即AF，故AF，
则A(3,0,0)，F(3,0,)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，
所以(0,﹣3,)，(3,0,﹣2)，
设平面BEF的一个法向量为(x,y,z)，
则，即，令，则(4,2,)，
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的一个法向量，(3,﹣3,0)，
所以,
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为；
（3）因为点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0)，则(t﹣3,t,0)，
因为AM//平面BEF，所以，
即4(t﹣3)+2t＝0，解得t＝2．
此时，点M坐标为(2,2,0)，，符合题意．
8．（2020·上海高三三模）如图，在直三棱柱中，，，D是的中点.

（1）若三棱柱的体积为，求三棱柱的高
（2）若，求二面角的大小
【答案】（1）6（2）
【解析】（1）由题意，求得，
所以，
由，
解得.
（2）以C为原点，为x轴，为y轴，为轴，建立如图所示的坐标系：

则，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，
取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
记二面角为，则，
所以.
9．（2020·江苏苏州·高三三模）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点.

（1）求二面角M—AC—D的余弦值；
（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，

则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，M(0，，)，
＝(0，0，3)，＝(2，3，0)，＝(0，，)
因为PA⊥平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为＝(0，0，3)，
设平面MAC的法向量为＝(x，y，z)，所以，
即，取＝(3，﹣2，2)，
∴cos<，>＝，
∴二面角M—AC—D的余弦值为；
（2）设，其中，
∴，
∵平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)，
∴

∵直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，
∴，∴，
化简得，即，∴.
10．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）如图，四棱锥中，平面，，，，.是棱上的一点，.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为.多面体的体积为，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）四边形中，，，所以.
在中，，，所以，.
则在中，，，，
所以，解得：.
由，知，即.
因为底面，平面，所以.
因为，是平面上的两条相交直线，所以面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：，，两两垂直，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，.
设，则，.
由（1）知，底面，故取平面的法向量为.
又，，