2021学年第4章 锐角三角函数综合与测试课后复习题

这是一份2021学年第4章 锐角三角函数综合与测试课后复习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.若∠A为锐角，且sinA＝eq \f(\r(3),2)，则csA等于( )
A．1 B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
2.【中考·贵阳】如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的网格的格点上，则sinA的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
4.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A.eq \f(3 \r(5),5) B.eq \f(\r(17),5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
5.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( )
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(26),26) C.eq \f(\r(26),13) D.eq \f(\r(13),13)
二、填空题
6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，则csB＝________，tanB＝________．

第6题图 第7题图
7.【2020·包头】如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为________．
8.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，AC＝8，则sinA＝________；
(2)如图②，已知点A的坐标为(1，eq \r(3))，则tan∠1＝____， sin∠1＝_______．
三、解答题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且csA＝eq \f(12,13).求sinA，tanA的值．
10.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且sineq \f(∠C,2)＝eq \f(5,13).求sineq \f(∠A＋∠B,2)的值．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝eq \r(5)，AB＝3，求sin∠ACD的值．
13.如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，求sin∠DAC的值．
14.求sin15°，cs15°的值．
【思考】如何求tan15°？
15.如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝eq \f(1,8).
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留根号)．
16.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，利用此图形求出67.5°角的正切值．
17.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD边上，且CF＝eq \f(1,4)CD，求∠EAF的正弦、余弦值．
参考答案
一、选择题
1.若∠A为锐角，且sinA＝eq \f(\r(3),2)，则csA等于( D )
A．1 B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
2.【中考·贵阳】如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( B )
A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)
【点拨】连接BC，由网格可得AB＝BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，∴tan∠BAC＝1.

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的网格的格点上，则sinA的值是( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1
4.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
A.eq \f(3 \r(5),5) B.eq \f(\r(17),5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
5.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝( B )
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(26),26) C.eq \f(\r(26),13) D.eq \f(\r(13),13)
【点拨】如图，作BD⊥AC于D，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得，AB＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13)，
AC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)·BD＝eq \f(1,2)×1×3，
∴BD＝eq \f(\r(2),2)，∴sin∠BAC＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(13))＝eq \f(\r(26),26).
二、填空题
6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，则csB＝________，tanB＝________．
【点拨】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴cs B＝sin A，sin B＝cs A.
∵sin A＝eq \f(4,5)，∠A是锐角，∴cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(3,5)，
∴cs B＝eq \f(4,5)，sin B＝eq \f(3,5)，∴tan B＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(3,4).
【答案】eq \f(4,5)；eq \f(3,4)

第6题图 第7题图
7.【2020·包头】如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为________．
【答案】eq \f(\r(3),2)
8.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，AC＝8，则sin A＝________；
【点拨】由勾股定理，得BC＝eq \r(AB2－AC2)＝15，
∴sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(15,17).
(2)如图②，已知点A的坐标为(1，eq \r(3))，则tan∠1＝____， sin∠1＝_______．
【点拨】如图，过A作x轴的垂线，垂足为B.
由题意可得，AB＝eq \r(3)，OB＝1，则tan∠1＝eq \f(AB,OB)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，
由勾股定理，得OA＝eq \r(OB2＋AB2)＝2.
∴sin∠1＝eq \f(AB,OA)＝eq \f(\r(3),2).
三、解答题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且csA＝eq \f(12,13).求sinA，tanA的值．
解：∵sin2A＋cs2A＝1，∠A是锐角，且cs A＝eq \f(12,13)，
∴sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(5,13)，
∴tanA＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\f(5,13),\f(12,13))＝eq \f(5,12).
10.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且sineq \f(∠C,2)＝eq \f(5,13).求sineq \f(∠A＋∠B,2)的值．
解：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C，
∴eq \f(∠A＋∠B,2)＝eq \f(180°－∠C,2)＝90°－eq \f(∠C,2)，
∴sin eq \f(∠A＋∠B,2)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(∠C,2)))＝cs eq \f(∠C,2).
又sin2eq \f(∠C,2)＋cs2eq \f(∠C,2)＝1，sineq \f(∠C,2)＝eq \f(5,13)，且eq \f(∠C,2)为锐角，
∴cseq \f(∠C,2)＝eq \f(12,13)，∴sineq \f(∠A＋∠B,2)＝eq \f(12,13).
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝eq \r(5)，AB＝3，求sin∠ACD的值．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCD＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sinB＝eq \f(\r(5),3)
13.如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，求sin∠DAC的值．
解：∵AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠C＋∠DAC＝∠C＋∠EBC＝90°.
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BEC＝90°，BE＝4，BC＝6，
∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝2 eq \r(5)，
∴sin∠EBC＝eq \f(CE,BC)＝eq \f(2 \r(5),6)＝eq \f(\r(5),3)，
∴sin∠DAC＝sin∠EBC＝eq \f(\r(5),3).
14.求sin15°，cs15°的值．
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则∠D＝15°，
设BC＝a，则AB＝2a，AC＝eq \r(3)a，
∴AD＝2a，∴CD＝(2＋eq \r(3))a.
在Rt△BCD中，
BD＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(a2＋[（2＋\r(3)）a]2)＝(eq \r(6)＋eq \r(2))a.
∴sin15°＝sinD＝eq \f(BC,BD)＝eq \f(a,（\r(6)＋\r(2)）a)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
cs15°＝csD＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(（2＋\r(3)）a,（\r(6)＋\r(2)）a)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
【思考】如何求tan15°？
15.如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝eq \f(1,8).
(1)求BC的长；
解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图所示．
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝eq \f(1,2)AC＝2，CD＝AC·cs30°＝2 eq \r(3)，
∴在Rt△ABD中，tan B＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,BD)＝eq \f(1,8)，∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2eq \r(3).
(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留根号)．
解：在BC边上取一点M，使得CM＝AC，
连接AM，如图所示．
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°.
∴tan15°＝tan∠AMD＝eq \f(AD,MD)＝eq \f(2,4＋2 \r(3))＝2－eq \r(3).
16.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，利用此图形求出67.5°角的正切值．
解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，
使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，
又∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠EAB＝45°.
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，
使点A落在BC边上的点 F处，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.
设AB＝BE＝x，则EF＝AE＝eq \r(2)x，
∴tan67.5°＝tan∠FAB＝eq \f(FB,AB)＝eq \f(\r(2)x＋x,x)＝eq \r(2)＋1.
17.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD边上，且CF＝eq \f(1,4)CD，求∠EAF的正弦、余弦值．
解：如图，连接EF，设CF＝k，由题意可得CD＝AD＝AB＝BC＝4k，BE＝EC＝2k，DF＝3k.
根据勾股定理得AF＝eq \r(AD2＋DF2)＝eq \r(（4k）2＋（3k）2)＝5k，EF＝eq \r(CF2＋CE2)＝
eq \r(k2＋（2k）2)＝eq \r(5)k，AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝eq \r(（4k）2＋（2k）2)＝2eq \r(5)k.
∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是直角三角形，
且∠AEF＝90°.
∴sin∠EAF＝eq \f(EF,AF)＝eq \f(\r(5)k,5k)＝eq \f(\r(5),5)，
cs∠EAF＝eq \f(AE,AF)＝eq \f(2\r(5)k,5k)＝eq \f(2\r(5),5).