湘教版九年级上册4.2 正切综合训练题

这是一份湘教版九年级上册4.2 正切综合训练题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.【中考·黄冈】下列运算结果正确的是( )
A．3a3·2a2＝6a6 B．(－2a)2＝－4a2 C．tan45°＝eq \f(\r(2),2) D．cs30°＝eq \f(\r(3),2)
2.在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanB＝( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \r(3) D．1
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是( )
A．sinA＝eq \f(3,4) B．csA＝eq \f(5,3) C．tanA＝eq \f(3,4) D．csA＝eq \f(3,5)

第3题图 第4题图 第11题图 第12题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列不能表示tan A的是( )
A.eq \f(CD,AD) B.eq \f(DB,CD) C.eq \f(CA,AB) D.eq \f(CB,CA)
5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(5)，tanB＝2，则AC的长为( )
A．1 B．2 C.eq \r(5) D．2 eq \r(5)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝eq \r(3)，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
7.【中考·包头】计算sin245°＋cs30°·tan60°，其结果是( )
A．2 B．1 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),4)
8.已知锐角α满足eq \r(2)sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( )
A．10° B．25° C．40° D．45°
9.下列各式中，不成立的是( )
A．cs60°＝2sin30°
B．sin15°＝cs75°
C．tan30°·tan60°＝1
D．sin230°＋cs230°＝1
10.对于任意锐角α，下列结论正确的是( )
A．sin αcs α D．tan α≥cs α
11.【2020·凉山州】如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．2 D．2eq \r(2)
12.【2020·无锡】如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝eq \r(3)，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝eq \f(\r(3),2)，则线段DE的长度为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(7),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2\r(7),5)
13.【2020·遵义】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,2＋\r(3))＝eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq \r(3)，类比这种方法，计算tan22.5°的值为( )
A.eq \r(2)＋1 B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.eq \f(1,2)
二、填空题
14.tan30°＝________，tan45°＝________， tan60°＝________．
15.在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan B＝________.
16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，则tan∠BPC＝________．

第16题图 第18题图
17.【中考·甘肃】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝eq \f(\r(3),3)，则cs B＝____________．
18.如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为________．
19.对于四个不等式：①sin 40°三、解答题
20.计算．
(1)【2020·株洲】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1)＋|－1|－eq \r(3)tan60°；
(2)【中考·衡阳】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－3)＋|eq \r(3)－2|＋tan60°－(－2021)0；
(3)【2021·遂宁】计算：
(4)sin45°·cs45°＋eq \f(cs 30°＋tan 45°,tan 60°)＋3tan230°－eq \f(sin 30°,sin 60°).
(5)eq \f(sin245°＋tan 60°·cs 30°,\r(2)cs 45°＋tan 45°)；
(6)eq \f(\r(tan 30°·cs 30°＋sin 30°·tan 45°),sin 45°·cs 45°＋cs 60°).
21.在如图所示的直角三角形中，我们知道sin α＝eq \f(a,c)，cs α＝eq \f(b,c)，tan α＝eq \f(a,b).
(1)试探究sin α，cs α与tan α之间的关系；
(2)请你利用上面探究的结论解答下面的问题：已知α为锐角，且tan α＝eq \f(1,2).求eq \f(sin α－2cs α,2sin α＋cs α)的值．
22.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°.若定义ct A＝eq \f(∠A的邻边,∠A的对边)＝eq \f(b,a)，则称它为∠A的余切，我们把sin A，cs A，tan A，ct A叫作∠A的三角函数．根据这个定义解答下列问题：
(1)ct30°＝________；
(2)已知tan A＝eq \f(3,4)，其中∠A为锐角，试求ct A的值；
(3)试说明：tanA＝ct(90°－∠A)．
23.【2020·黄冈】已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝eq \r(5)，tan∠DOB＝eq \f(1,2).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当S△ACO＝eq \f(1,2)S△OCD时，求点C的坐标．
24.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3eq \r(5).
(1)求梯形ABCD的面积；
(2)连接BD，求∠DBC的正切值．
25.有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图①)，连接BD，MF，若此时他测得BD＝8 cm，∠ADB＝30°.
(1)请直接写出AF的长；
(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB1D1，AD1交FM于点K(如图②)，设旋转角为β(0°<β<90°)，当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积(保留根号)．
参考答案
一、选择题
1.【中考·黄冈】下列运算结果正确的是( D )
A．3a3·2a2＝6a6 B．(－2a)2＝－4a2 C．tan45°＝eq \f(\r(2),2) D．cs30°＝eq \f(\r(3),2)
2.在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanB＝( D )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \r(3) D．1
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是( C )
A．sinA＝eq \f(3,4) B．csA＝eq \f(5,3) C．tanA＝eq \f(3,4) D．csA＝eq \f(3,5)

第3题图 第4题图 第11题图 第12题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列不能表示tan A的是( )
A.eq \f(CD,AD) B.eq \f(DB,CD) C.eq \f(CA,AB) D.eq \f(CB,CA)
【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴易得△ACD∽△ABC∽△CBD.
∴∠A＝∠BCD.
在Rt△ACD中，tan A＝eq \f(CD,AD).
在Rt△BCD中，tan A＝tan ∠BCD＝eq \f(DB,CD).
在Rt△ABC中，tan A＝eq \f(CB,CA).
【答案】C
5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(5)，tanB＝2，则AC的长为( B )
A．1 B．2 C.eq \r(5) D．2 eq \r(5)
【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝2，∴eq \f(AC,BC)＝2，∴BC＝eq \f(1,2)AC，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即(eq \r(5))2＝AC2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AC))eq \s\up12(2)，解得AC＝2(负值已舍去)．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝eq \r(3)，则∠A的度数为( A )
A．30° B．45° C．50° D．60°
【点拨】tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).∴∠A＝30°.不能准确选用合适的边角关系式与对30°，60°角的正切值不能准确区分是本题的易错点．
7.【中考·包头】计算sin245°＋cs30°·tan60°，其结果是( A )
A．2 B．1 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),4)
8.已知锐角α满足eq \r(2)sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( B )
A．10° B．25° C．40° D．45°
【点拨】∵eq \r(2)sin(α＋20°)＝1，
∴sin (α＋20°)＝eq \f(\r(2),2).∵α为锐角，
∴α＋20°＝45°，∴α＝45°－20°＝25°.
9.下列各式中，不成立的是( A )
A．cs60°＝2sin30°
B．sin15°＝cs75°
C．tan30°·tan60°＝1
D．sin230°＋cs230°＝1
【点拨】A.cs 60°＝sin 30°，错误； B．sin 15°＝cs 75°，正确；C.tan 30°·tan 60°＝1，正确；D.sin230°＋cs230°＝1，正确．
10.对于任意锐角α，下列结论正确的是( A )
A．sin αcs α D．tan α≥cs α
11.【2020·凉山州】如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．2 D．2eq \r(2)
【点拨】如图，连接BD，由网格的特点可得，
BD⊥AC，∵AD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，BD＝eq \r(12＋12)
＝eq \r(2)，∴tan A＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，故选A.
12.【2020·无锡】如图，在四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝eq \r(3)，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝eq \f(\r(3),2)，则线段DE的长度为( B )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(7),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2\r(7),5)
【点拨】如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，设MN＝eq \r(3)m，
∵tan∠AED＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(MN,NE)＝eq \f(\r(3),2)，∴NE＝2m，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝eq \r(3)，∴易得∠CAB＝30°.由翻折可知：∠EAC＝30°，∴AM＝2MN＝2eq \r(3)m，∴AN＝eq \r(3)MN＝3m，
∵AE＝AB＝3，∴5m＝3，∴m＝eq \f(3,5)，
∴MN＝eq \f(3\r(3),5)，AM＝eq \f(6\r(3),5)，易知AC＝2eq \r(3)，
∴CM＝AC－AM＝eq \f(4\r(3),5)，
∵MN＝eq \f(3\r(3),5)，NE＝2m＝eq \f(6,5)，
∴EM＝eq \r(MN2＋EN2)＝eq \f(3\r(7),5)，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°，易知∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，∴CD是∠ECM的平分线，
∴eq \f(S△CED,S△CMD)＝eq \f(ED,MD)＝eq \f(CE,CM)，∵CE＝BC＝eq \r(3)，
∴eq \f(\r(3),\f(4\r(3),5))＝eq \f(ED,\f(3\r(7),5)－ED)，解得ED＝eq \f(\r(7),3).故选B.
13.【2020·遵义】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,2＋\r(3))＝eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq \r(3)，类比这种方法，计算tan22.5°的值为( B )
A.eq \r(2)＋1 B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.eq \f(1,2)
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝eq \r(2)，
∴tan22.5°＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \r(2)－1.
二、填空题
14.tan30°＝________，tan45°＝________， tan60°＝________．
【答案】eq \f(\r(3),3)；1；eq \r(3)
15.在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tanB＝________.
【点拨】本题易忽略求正切值的前提是将∠B放在一个直角三角形中．
【答案】eq \f(4,3)
16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC，则tan∠BPC＝________．
【答案】eq \f(4,3)

第16题图 第18题图
17.【中考·甘肃】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝eq \f(\r(3),3)，则cs B＝____________．
【点拨】利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝eq \f(\r(3),3)，设BC＝eq \r(3)x，AC＝3x，则AB＝2eq \r(3)x，∴csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2).
【答案】eq \f(1,2)
18.如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为________．
【答案】eq \f(1,3)
19.对于四个不等式：①sin40°【点拨】由锐角的正弦值随锐角度数的增大而增大，余弦值随锐角度数的增大而减小，正切值随锐角度数的增大而增大，得sin40°＜sin50°，cs40°＞cs50°，tan40°＜tan50°，故①③正确，②错误．∵cs40°＝sin50°，故④错误．
【答案】①③
三、解答题
20.计算．
(1)【2020·株洲】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－1)＋|－1|－eq \r(3)tan60°；
解：原式＝4＋1－eq \r(3)×eq \r(3)＝4＋1－3＝2.
(2)【中考·衡阳】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－3)＋|eq \r(3)－2|＋tan 60°－(－2021)0；
解：原式＝8＋2－eq \r(3)＋eq \r(3)－1＝9.
(3)【2021·遂宁】计算：
【解析】解：
(4)sin45°·cs45°＋eq \f(cs 30°＋tan 45°,tan 60°)＋3tan230°－eq \f(sin 30°,sin 60°).
原式＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\f(\r(3),2)＋1,\r(3))＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)－eq \f( \f(1,2) , \f(\r(3),2) )＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3)＋1－eq \f(\r(3),3)＝2.
(5)eq \f(sin245°＋tan 60°·cs 30°,\r(2)cs 45°＋tan 45°)；
原式＝＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\r(3)×\f(\r(3),2),\r(2)×\f(\r(2),2)＋1)＝1.
(6)eq \f(\r(tan 30°·cs 30°＋sin 30°·tan 45°),sin 45°·cs 45°＋cs 60°).
原式＝＝eq \f(\r(\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2)＋\f(1,2)×1),\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝1.
21.在如图所示的直角三角形中，我们知道sin α＝eq \f(a,c)，cs α＝eq \f(b,c)，tan α＝eq \f(a,b).
(1)试探究sinα，csα与tanα之间的关系；
解：∵sin α＝eq \f(a,c)，cs α＝eq \f(b,c)，tan α＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f( \f(a,c) , \f(b,c) )＝eq \f(a,b)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α).
(2)请你利用上面探究的结论解答下面的问题：已知α为锐角，且tan α＝eq \f(1,2).求eq \f(sin α－2cs α,2sin α＋cs α)的值．
解：∵tan α＝eq \f(1,2)，∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，
∴2sin α＝cs α，
∴eq \f(sin α－2cs α,2sin α＋cs α)＝eq \f(sin α－4sin α,2sin α＋2sin α)＝－eq \f(3,4).
22.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°.若定义ct A＝eq \f(∠A的邻边,∠A的对边)＝eq \f(b,a)，则称它为∠A的余切，我们把sin A，cs A，tan A，ct A叫作∠A的三角函数．根据这个定义解答下列问题：
(1)ct 30°＝________；
【答案】eq \r(3)
(2)已知tan A＝eq \f(3,4)，其中∠A为锐角，试求ct A的值；
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，
∴可设BC＝3k，则AC＝4k，
∴ct A＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4k,3k)＝eq \f(4,3).
(3)试说明：tan A＝ct(90°－∠A)．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠A＋∠B＝90°，
即∠B＝90°－∠A.
∵tan A＝eq \f(BC,AC)，ct B＝eq \f(BC,AC)，
∴tan A＝ct B，
即tan A＝ct (90°－∠A)．
23.【2020·黄冈】已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝eq \r(5)，tan∠DOB＝eq \f(1,2).
(1)求反比例函数的表达式；
解：分别过点B，A作BM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为点M，N，如图．
设反比例函数的表达式为y＝eq \f(k,x)(k≠0)．
在Rt△BOM中，OB＝eq \r(5)，tan∠DOB＝eq \f(1,2).
易得BM＝1，OM＝2.
∴点B的坐标为(－2，－1)，∴k＝(－2)×(－1)＝2.
∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(2,x).
(2)当S△ACO＝eq \f(1,2)S△OCD时，求点C的坐标．
解：∵S△ACO＝eq \f(1,2)S△OCD，S△ACO＝eq \f(1,2)×OC×AN，
S△OCD＝eq \f(1,2)×OC×OD，∴OD＝2AN.
易得△ANC∽△DOC，∴eq \f(AN,DO)＝eq \f(NC,OC)＝eq \f(1,2).
设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b.
∵S△OAN＝eq \f(1,2)|k|＝1＝eq \f(1,2)ON·AN＝eq \f(1,2)×3b×a，
∴ab＝eq \f(2,3).①易得△BMD∽△CNA，
∴eq \f(MD,AN)＝eq \f(BM,CN)，即eq \f(2－2a,a)＝eq \f(1,b)，∴a＝eq \f(2b,2b＋1).②
由①②可求得b1＝1，b2＝－eq \f(1,3)(舍去)．
∴OC＝2，∴点C的坐标为(0，2)．
24.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3eq \r(5).
(1)求梯形ABCD的面积；
【点拨】过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝eq \r(BC2－BE2)＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝eq \f(1,2)×(5＋8)×6＝39；
解：过C作CE⊥AB于E，如图，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠D＝90°，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB－AE＝3，
∵BC＝3eq \r(5)，∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝6，
∴梯形ABCD的面积＝eq \f(1,2)×(5＋8)×6＝39；
(2)连接BD，求∠DBC的正切值．
【点拨】过C作CH⊥BD于H，由题可知△CDH∽△DBA，根据相似三角形的性质得到eq \f(CH,AD)＝eq \f(CD,BD)，根据勾股定理得到BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝eq \r(82＋62)＝10，BH＝eq \r(BC2－CH2)＝eq \r(（3\r(5)）2－32)＝6，于是得到结论．
解：过C作CH⊥BD于H，如图，
∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，
∴eq \f(CH,AD)＝eq \f(CD,BD)，∵BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝eq \r(82＋62)＝10，
∴eq \f(CH,6)＝eq \f(5,10)，∴CH＝3，
∴BH＝eq \r(BC2－CH2)＝eq \r(（3\r(5)）2－32)＝6，
∴tan∠DBC＝eq \f(CH,BH)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
25.有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图①)，连接BD，MF，若此时他测得BD＝8 cm，∠ADB＝30°.
(1)请直接写出AF的长；

解：AF＝4eq \r(3) cm.
(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB1D1，AD1交FM于点K(如图②)，设旋转角为β(0°<β<90°)，当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积(保留根号)．
解：当△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK＝FK时，如图①.
过点K作KN⊥AF于点N，
则AN＝NF＝eq \f(1,2)AF＝2eq \r(3) cm.
在Rt△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，
∴KN＝NF·tan F＝2 cm.
∴△AFK的面积为eq \f(1,2)AF·KN＝4eq \r(3) cm2；
②当AF＝FK时，如图②.过点K作KP⊥AF于点P.
在Rt△PFK中，
∠KPF＝90°，∠F＝30°，
∴KP＝eq \f(1,2)KF＝2eq \r(3) cm.
∴△AFK的面积为eq \f(1,2)AF·KP＝12 cm2.
综上所述，当△AFK为等腰三角形时，△AFK的面积为4eq \r(3) cm2或12 cm2.