初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试复习练习题
展开1.如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图.已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin70°≈0.94,cs70°≈0.34,tan70°≈2.75)
2.【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①),侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B,O,C在同一直线上,OA=OB=24 cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.
(1)求OC的长;
(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离(结果保留根号).
3.【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放时的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 40°≈0.64,cs 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
4.【中考·临沂】鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为加快施工进度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°,AB=4 km,∠ABD=105°,求BD的长.
5.【2021·滁州定远县期末】如图,为测量某写字楼AB的高度,小明在D点测得A点的仰角为30°,朝写字楼AB方向前进20 m到达点C处,再次测得点A的仰角为60°,试求写字楼AB的高度.
6.【2020·安徽】如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°.求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9° ≈0.75,sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)
7.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体CD的高度,在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C的仰角为45°,底端D的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°(如图所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米.(精确到1米.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cs 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,eq \r(2)≈1.41,eq \r(3)≈1.73)
8.【中考·河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cs 34°≈0.83, tan 34°≈0.67,eq \r(3)≈1.73)
9.【2020·广元】如图,公路MN为东西走向,在点M北偏东36.5°方向上,距离5千米处是学校A;在点M北偏东45°方向上,距离6eq \r(2)千米处是学校B.(参考数据:sin 36.5°≈0.6,cs 36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.74)
(1)求学校A,B两点之间的距离;
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C,使得A,B两所学校到体育馆C的距离之和最短,求这个最短距离.
10.【2020·淄博】如图,著名旅游景区B位于大山深处,原来到此旅游需要绕行C地,沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°,∠B=30°,BC=100千米,eq \r(2)≈1.4,eq \r(3)≈1.7等数据信息,解答下列问题:
(1)公路修建后,从A地到景区B旅游可以少走多少千米?
(2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米?
参考答案
解答题
1.如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图.已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin70°≈0.94,cs70°≈0.34,tan70°≈2.75)
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
延长AD交地面于点E,
∵sin∠ABD=eq \f(AD,AB),
∴AD=AB·sin 70°≈92×0.94=86.48(cm).
易知DE=6 cm,∴AE=AD+DE≈86.48+6≈92.5(cm),
即把手A离地面的高度约为92.5 cm.
2.【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①),侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B,O,C在同一直线上,OA=OB=24 cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.
(1)求OC的长;
解:在Rt△AOC中,OA=24 cm,∠OAC=30°.∴OC=eq \f(1,2)OA=eq \f(1,2)×24=12(cm).
(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离(结果保留根号).
解:如图,过点B′作B′D⊥AC,垂足为D,过点O作OE⊥B′D,垂足为E.
由题意得,OA=OB′=24 cm,
当显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°时,可得∠B′OE=60°,
∴在Rt△B′OE中,B′E=OB′·sin 60°=12eq \r(3) cm.
∵OE⊥B′D,B′D⊥AD,OC⊥AD,
∴四边形OCDE是矩形,∴OC=DE=12 cm,
∴B′D=B′E+DE=12eq \r(3)+12(cm),
即点B′到AC的距离为(12+12eq \r(3))cm.
3.【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放时的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 40°≈0.64,cs 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
解:车门不会碰到墙.
理由:过点A作AC⊥OB于点C.
在Rt△AOC中,∠AOC=40°,∴sin 40°=eq \f(AC,AO).
又∵AO=1.2米,
∴AC=1.2×sin 40°≈1.2×0.64=0.768(米).
∵0.768米<0.8米,∴车门不会碰到墙.
4.【中考·临沂】鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为加快施工进度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°,AB=4 km,∠ABD=105°,求BD的长.
解:过点B作BE⊥AD于点E,
∵∠CAB=30°,AB=4 km,
∴∠ABE=60°,BE=2 km.
∵∠ABD=105°,∴∠EBD=45°,
∴cs 45°=eq \f(BE,BD),∴BD=eq \f(BE,cs 45°)=2eq \r(2)km,
即BD的长是2eq \r(2)km.
5.【2021·滁州定远县期末】如图,为测量某写字楼AB的高度,小明在D点测得A点的仰角为30°,朝写字楼AB方向前进20 m到达点C处,再次测得点A的仰角为60°,试求写字楼AB的高度.
解:由题意,知∠ACB=60°,∠D=30°,
∴∠DAC=∠ACB-∠D=30°.
∴∠D=∠DAC. ∴AC=CD=20 m.
在Rt△ABC中,∵sin∠ACB=eq \f(AB,AC),
∴AB=sin∠ACB·AC=eq \f(\r(3),2)·20=10eq \r(3)(m).
答:写字楼AB的高度为10eq \r(3)m.
6.【2020·安徽】如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°.求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9° ≈0.75,sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)
解:设山高CD=x米,
在Rt△BCD中,tan ∠CBD=eq \f(CD,BD),∴tan 36.9°=eq \f(x,BD),
∴BD=eq \f(x,tan 36.9°)≈eq \f(x,0.75)=eq \f(4,3)x,
在Rt△ABD中,tan ∠ABD=eq \f(AD,BD),∴tan 42.0°≈eq \f(AD,\f(4,3)x),
∴AD≈eq \f(4,3)x·tan 42.0°≈eq \f(4,3)x·0.90=1.2x,
∵AC=AD-CD=15米,
∴1.2x-x≈15,解得x≈75.
∴山高CD约为75米.
7.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体CD的高度,在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C的仰角为45°,底端D的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°(如图所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米.(精确到1米.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cs 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,eq \r(2)≈1.41,eq \r(3)≈1.73)
解:设CE=x米,
在Rt△AEC中,∠CAE=45°,∴AE=CE=x米,
∵AB=20米,∴BE=(x-20)米,
在Rt△CEB中,CE=BE·tan 63.4°=tan 63.4°(x-20)米,
∴tan 63.4°(x-20)=x,解得x≈40,∴CE=AE≈40米.
在Rt△DAE中,DE=AE·tan 30°≈40×eq \f(\r(3),3)=eq \f(40 \r(3),3)(米),
∴CD=CE-DE≈40-eq \f(40\r(3),3)≈17(米).
答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.
8.【中考·河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cs 34°≈0.83, tan 34°≈0.67,eq \r(3)≈1.73)
解:∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,
tan∠CAE=eq \f(CE,AC),∴AC=eq \f(CE,tan 34°)≈eq \f(55,0.67)≈82.1(m),
∵AB=21 m,∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1(m),
在Rt△BCD中,tan 60°=eq \f(CD,BC)=eq \r(3),
∴CD=eq \r(3)BC≈1.73×61.1≈105.7(m),
∴DE=CD-EC≈105.7-55=50.7≈51(m).
答:炎帝塑像DE的高度约为51 m.
9.【2020·广元】如图,公路MN为东西走向,在点M北偏东36.5°方向上,距离5千米处是学校A;在点M北偏东45°方向上,距离6eq \r(2)千米处是学校B.(参考数据:sin 36.5°≈0.6,cs 36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.74)
(1)求学校A,B两点之间的距离;
解:如图,过点A作FD∥MN,与过点M的方向线交于点F,过点B作BE⊥MN,垂足为E,BE与FD交于点D,连接AB,则四边形FDEM为矩形.∴FD=ME,FM=DE,AF⊥FM.
在Rt△AFM中,∠FMA=36.5°,AM=5千米,
∴sin 36.5°=eq \f(FA,5)≈0.6,∴FA≈3千米,
∴FM≈4千米.
在Rt△MBE中,∠NMB=45°,MB=6eq \r(2)千米,
∴sin 45°=eq \f(BE,6\r(2))=eq \f(\r(2),2),∴BE=6千米,
∴ME=6千米,∴AD=FD-FA=ME-FA≈3千米,BD=BE-DE=BE-FM≈2千米.
在Rt△ABD中,AB=eq \r(AD2+BD2)≈3.6千米.
答:学校A,B两点之间的距离约为3.6千米.
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C,使得A,B两所学校到体育馆C的距离之和最短,求这个最短距离.
解:如图,作点B关于MN的对称点G,则点E在BG上,连接AG交MN于点C,连接CB,点C即为体育馆的位置,
此时CA+CB=CA+CG=AG,即A,B两所
学校到体育馆C的距离之和最短为AG的长.
∵DG=DE+EG=FM+BE≈4+6=10(千米)
∴AG=eq \r(AD2+DG2)≈eq \r(32+102)≈10.4(千米).
答:最短距离约为10.4千米.
10.【2020·淄博】如图,著名旅游景区B位于大山深处,原来到此旅游需要绕行C地,沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°,∠B=30°,BC=100千米,eq \r(2)≈1.4,eq \r(3)≈1.7等数据信息,解答下列问题:
(1)公路修建后,从A地到景区B旅游可以少走多少千米?
解:如图,过点C作AB的垂线CD,垂足为D.
∵在Rt△BCD中,∠CBD=30°,BC=100千米,
∴CD=BC·sin 30°=100×eq \f(1,2)=50(千米),
BD=BC·cs 30°=100×eq \f(\r(3),2)=50eq \r(3)(千米).
∵在Rt△ACD中,∠A=45°,∴AD=CD=50千米,
AC=eq \f(CD,sin 45°)=50eq \r(2)千米,∴AB=50+50eq \r(3)(千米),
∴AC+BC-AB=50eq \r(2)+100-(50+50eq \r(3))=50+50eq \r(2)-50eq \r(3)≈35(千米).
答:从A地到景区B旅游可以少走约35千米.
(2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米?
解:设施工队原计划每天修建x千米,依题意得
eq \f(50+50\r(3),x)-eq \f(50+50\r(3),(1+25%)x)=50,
解得x≈0.54,
经检验x≈0.54是原分式方程的解.
答:施工队原计划每天修建约0.54千米.
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