初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.4 解直接三角形的应用同步测试题

这是一份初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.4 解直接三角形的应用同步测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.已知一个山坡的坡度为i，坡角为α，则下列等式成立的是( )
A．i＝sinα B．i＝csα C．i＝tanα D．i＝eq \f(1,tan α)
2.如图，河坝横断面迎水坡AB的坝高BC是5米，斜坡AB的长是13米，则斜坡AB的坡度是( )
A．1:3 B．1:2.6 C．1:2.4 D．1:2

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.如果某个斜坡的坡度是1∶eq \r(3)，那么这个斜坡的坡角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.【中考·广州】如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝eq \f(2,5)，则此斜坡的水平距离AC为( )
A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡度为1∶2的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A．4 m B．2eq \r(5) m C．eq \f(3 \r(3),8) m D．8 m
6.【中考·益阳】如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了( )
A．300sin α米 B．300cs α米 C．300tan α米 D. eq \f(300,tan α)米
7.如图，某单位门前有四级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，台阶的起点为A点，现计划把台阶右侧改成斜坡，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度为i＝1 ∶5，则AC的长度是( )
A．270 cm B．268 cm C．265 cm D．260 cm

第7题图 第8题图 第9题图
8.【2021·衡阳】如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米B．8米C．9米D．10米
9.【2021·金华】如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为( )
A．4csα米B．4sinα米C．4tanα米D．4csα米
10.【2021·德州】某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5m，调整后的楼梯会加长( ) (sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)
A．6米B．3米C．2米D．1米
11.如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是( )
A．15°B．30°C．45°D．60°

第11题图 第12题图
12.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当楼顶A下滑1m到A'时，楼脚B滑到B'，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝eq \f(4,3)，BB'＝1m，则csβ＝( )
A．eq \f(4,5)B．eq \f(3,5)C．eq \f(3,4)D．eq \f(2,5)
二、填空题
13.【2021·无锡】一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，海前进100米所上升的高度为________米．
14.【2021·山西】太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12(i为铅直高度与水平宽度的比)．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，某商场营业大厅自动扶梯AB的坡角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度约为___________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin31°≈0.515，cs31°≈0.857，tan31°≈0.601)
16.【2020·阜新】如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两棵树间的坡面距离AB＝5 m，则这两棵树的水平距离约为________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364)．
17.【2020·自贡】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为________米(结果保留根号)．

第17题图 第18题图 第19题图
18.【2020·泰安】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，
才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
19.【2020·湘潭】为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：eq \r(3)，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，则斜坡AF的长是________．(结果精确到0.01m，参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(17)≈4.123)
三、解答题
20.【2020·十堰】如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子，当梯子底端离墙面2 m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26)?
21.如图，休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1∶2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5 m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7 m．若秋千的长OA＝2 m，求当秋千摆动到与静止位置成37°角时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为多少米．(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)
22.【2020·益阳】沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈0.49，sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)
23.【2020·株洲】某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2eq \r(6)米．
(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
24.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 15°≈0.26，cs 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
25.【中考·泰州】日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到
E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
参考答案
一、选择题
1.已知一个山坡的坡度为i，坡角为α，则下列等式成立的是( C )
A．i＝sinα B．i＝csα C．i＝tanα D．i＝eq \f(1,tan α)
2.如图，河坝横断面迎水坡AB的坝高BC是5米，斜坡AB的长是13米，则斜坡AB的坡度是( C )
A．1:3 B．1:2.6 C．1:2.4 D．1:2

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.如果某个斜坡的坡度是1∶eq \r(3)，那么这个斜坡的坡角为( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.【中考·广州】如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝eq \f(2,5)，则此斜坡的水平距离AC为( A )
A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
【点拨】∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝eq \f(2,5)，BC＝30 m，
∴tan∠BAC＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(30,AC)＝eq \f(2,5)，∴AC＝75 m.
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡度为1∶2的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A．4 m B．2 eq \r(5) m C．eq \f(3 \r(3),8) m D．8 m
【点拨】如图，AC⊥BC，BC与水平面平行．
∵山坡的坡度为1∶2，∴AC∶BC＝1∶2，
即AC∶4＝1∶2，
∴AC＝2 m，由勾股定理，得AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝2 eq \r(5) m.
【答案】B
6.【中考·益阳】如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了( A )
A．300sin α米 B．300cs α米 C．300tan α米 D. eq \f(300,tan α)米
7.如图，某单位门前有四级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，台阶的起点为A点，现计划把台阶右侧改成斜坡，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度为i＝1 ∶5，则AC的长度是( A )
A．270 cm B．268 cm C．265 cm D．260 cm

第7题图 第8题图 第9题图
8.【2021·衡阳】如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ D ）
A．7.5米B．8米C．9米D．10米
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝sin37°≈0.6＝eq \f(3,5)，
∴AB≈eq \f(5,3)BC＝eq \f(5,3)×6＝10(米)，
9.【2021·金华】如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为( A )
A．4csα米B．4sinα米C．4tanα米D．4csα米
10.【2021·德州】某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5m，调整后的楼梯会加长( D ) (sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)
A．6米B．3米C．2米D．1米
11.如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是( B )
A．15°B．30°C．45°D．60°

第11题图 第12题图
12.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当楼顶A下滑1m到A'时，楼脚B滑到B'，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝eq \f(4,3)，BB'＝1m，则csβ＝( A )
A．eq \f(4,5)B．eq \f(3,5)C．eq \f(3,4)D．eq \f(2,5)
二、填空题
13.【2021·无锡】一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，海前进100米所上升的高度为________米．
【答案】10eq \r(2)
14.【2021·山西】太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12(i为铅直高度与水平宽度的比)．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
【答案】10013

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，某商场营业大厅自动扶梯AB的坡角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度约为___________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin31°≈0.515，cs31°≈0.857，tan31°≈0.601)
【点拨】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC≈12×0.515＝6.18≈6.2(米)．
【答案】6.2
16.【2020·阜新】如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两棵树间的坡面距离AB＝5 m，则这两棵树的水平距离约为________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364)．
【答案】4.7
17.【2020·自贡】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为________米(结果保留根号)．
【答案】6eq \r(2)

第17题图 第18题图 第19题图
18.【2020·泰安】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，
才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
【答案】10
19.【2020·湘潭】为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：eq \r(3)，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，则斜坡AF的长是________．(结果精确到0.01m，参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(17)≈4.123)
【答案】20.62m
三、解答题
20.【2020·十堰】如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子，当梯子底端离墙面2 m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin75°≈0.97，cs75°≈0.26)?
解：在Rt△ABC中，∵csα＝eq \f(AC,AB)，∴AC＝AB·csα，
当α＝50°时，AC＝AB·cs α≈6×0．64＝3.84(m)，
当α＝75°时，AC＝AB·cs α≈6×0．26＝1.56(m)．
即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．
21.如图，休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1∶2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5 m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7 m．若秋千的长OA＝2 m，求当秋千摆动到与静止位置成37°角时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为多少米．(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)
解：如图，延长A′E，与BC的延长线交于点F，过点A′作A′H⊥OB于点H.
在Rt△OHA′中，eq \f(OH,OA′)＝cs 37°≈0.8，eq \f(A′H,OA′)＝sin 37°≈0.6，
∴OH≈0.8OA′＝0.8×2＝1.6(m)，A′H≈0.6OA′＝0.6×2＝1.2(m)，
∴AH＝OA－OH≈2－1.6＝0.4(m)，
∴HB＝HA＋AB≈0.4＋0.5＝0.9(m)，
易得A′F＝HB≈0.9 m，BF＝HA′≈1.2 m，
∴CF＝BF－BC≈1.2－0.7＝0.5(m)，
由题意知在Rt△EFC中，eq \f(EF,CF)＝eq \f(1,2.5)，
∴EF＝eq \f(2,5)CF≈eq \f(2,5)×0.5＝0.2(m)，
∴A′E＝A′F－EF≈0.9－0.2＝0.7(m)．
答：当秋千摆动到与静止位置成37°角时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为0.7 m.
22.【2020·益阳】沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.
(1)求斜坡CD的坡角α；
解：∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tan α＝eq \f(DH,CH)＝1，∴α＝45°．
∴斜坡CD的坡角α为45°．
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈0.49，sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)
解：∵DH⊥BC，α＝45°，∴CH＝DH＝12米，
∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°．
在Rt△PCH中，
∵tan ∠PCH＝eq \f(PH,CH)＝eq \f(PD＋12,12)≈2．90，
∴PD≈22．8米．
∵22．8＞18，
∴此次改造符合电力部门的安全要求．
23.【2020·株洲】某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2eq \r(6)米．
(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)
解：在Rt△ABC中，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(324－24)＝10eq \r(3)(米)．
∴该斜坡的坡高BC为10eq \r(3)(米)．
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
解：易知四边形MNCB是矩形，
∴MN＝BC＝10eq \r(3)米．
∵sin α＝eq \f(MN,AM)，∴AM＝eq \f(10\r(3),sin 60°)＝20(米)，
∴AM－AB＝20－18＝2(米)．
即改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了2米．
24.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 15°≈0.26，cs 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10 m，
∴AD＝AB·sin∠ABD＝10×sin30°＝5(m)，
在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，
sin∠ACD ＝eq \f(AD,AC)，∴AC＝eq \f(AD,sin ∠ACD)＝eq \f(5,sin 15°)≈eq \f(5,0.26)≈19.2 (m)，
即改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.
25.【中考·泰州】日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到
E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
解：在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，
∴tan ∠EFH＝i＝1∶0.75＝eq \f(4,3)＝eq \f(EH,FH)，
设EH＝4x m，则FH＝3x m，∴EF＝eq \r(EH2＋FH2)＝5x m，
∵EF＝15 m，∴5x＝15，∴x＝3，∴FH＝9 m.
即山坡EF的水平宽度FH为9 m.
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
解：由(1)可得EH＝12 m.
设CF＝y m，易知L＝CF＋FH＋EA＝(y＋13)m，
H＝AB＋EH＝22.5＋12＝34.5(m)，H1＝0.9 m，
∴日照间距系数＝L∶(H－H1)＝eq \f(y＋13,34.5－0.9)＝eq \f(y＋13,33.6)，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴eq \f(y＋13,33.6)≥1.25，∴y≥29.
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少29 m远．