专题69 极坐标与参数方程（原卷版）学案

专题69  极坐标与参数方程

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极坐标与参数方程是高考选考内容之一，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等.题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

（一）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）

（二）参数方程：

1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数

2、参数方程与一般方程的转化：消参法

（1）代入消参：

（2）整体消参：，由可得：

（3）平方消参：利用消去参数

例如：

3、常见图形的参数方程：

（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角

（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角

（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角

（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数

（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数21】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数21】 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．

（1）将的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．

例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文理数22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．

例4．【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

例5．（2020·云南高三三模）在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.

例6．（2020·湖南师大附中高三三模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．

（1）直接写出曲线的普通方程；

（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．

例7．（2020·固原市五原中学高三三模）若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线的参数方程为(为参数)，，当直线与曲线相交于，两点，求.

例8．（2020·云南曲靖一中高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；

（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.

【精选精练】

1．（2020·四川省武胜烈面中学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（    ）

A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．

2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高三三模）已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C． D．

3．（2020·土默特左旗第一中学高三三模）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，(   )

A． B． C． D．

4．（2020·广西钦州·高三三模）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（　　）

A． B． C． D．

5．（2020·武邑宏达学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（   ）

A． B． C． D．

6．（2020·临泽县第一中学高三三模）在极坐标系中，两条曲线，的交点为，则（  ）

A．4 B． C．2 D．1

7．（2020·云南昆明一中高三三模）已知平面直角坐标系中，将曲线（为参数）绕原点逆时针旋转得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线分别与曲线，交于异于点的，两点，求.

8．（2020·甘肃兰州一中高三三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

9．（2020·湖南长沙·高三三模）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，在极坐标系(以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴)中，曲线的方程为，曲线，交于，两点，其中定点.

（1）若，求的值；

（2）若，，成等比数列，求的值.

10．（2020·山西大同一中高三三模）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，(为参数).将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设点的极坐标为.

（1）求曲极坐标方程；

（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

11．（2020·贵州遵义·高三三模）已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线的极坐标方程；

（2）若直线的斜率为，且与曲线交于两点，求的长.

12．（2020·吉林长春外国语学校高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．