专题11 含参数函数的单调区间问题（解析版）学案

专题11  含参数函数的单调区间问题

【热点聚焦与扩展】

从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.

1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.

2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解

3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式

4、关于分类讨论的时机与分界点的确定

（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论.思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果.所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始.体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论.（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定.要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色.例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论.

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解

（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类.

【经典例题】

例1．（2020·通榆县第一中学校高三三模）已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得到，

因为在上是减函数，所以在上恒成立，

所以，∵，∴，

∴，所以，

则a的取值范围是故选：B.

例2．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为在区间内存在单调递增区间，

所以在区间上成立，

即在区间上有解，

因此，只需，解得.故选D

例3．（2020·安徽省怀宁县第二中学高三三模）已知函数在区间上是减函数，那么 （ ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最大值

【答案】D

【解析】由f（x）在[-1，2]上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[-1，2]，

则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-，故选D.

例4．（2020·江苏广陵·扬州中学高三三模）已知函数，对任意的实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，且，

，

令，

则对任意的实数，，且都成立，

在上为增函数，即恒成立，

整理得，可知

当时，不等式成立，

当时，恒成立，又，.

故选：B.

例5．（2020·于洪·辽宁省实验中学分校高三三模）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为的定义域为，，由，得．利用图象可知，根据题意得，，解得，故选B．

例6．（2020·福建湖里·厦门双十中学高三三模）若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a的取值范围为___．

【答案】a≥﹣1．

【解析】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，

所以在（0，）上恒成立 ，

即在（0，）上恒成立 ，

因为，所以，所以，

所以.故答案为：

例7．（2020·宁夏银川一中高三三模）若在上是减函数，则的取值范围是_______.

【答案】

【解析】由得，

因为在上是减函数，

所以只需在上恒成立，

即在上恒成立，

因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，

则在上单调递增，

所以，

因此只需.

故答案为：.

例8．（2020·寻甸回族彝族自治县民族中学高三三模）函数在区间内单调递减，则的取值范围是________.

【答案】或

【解析】当时，，其在区间单调递减，显然满足题意；

当，，其恒成立.

令，

故可得，

当时，，故在区间单调递增，显然不满足题意；

当时，，

故在区间单调递减，在单调递增，在单调递减.

要满足题意，只需，即，

整理得，解得或，又，

故可得.

综上所述：或.

故答案为：或.

【精选精练】

1．（2020·西藏乃东·山南二中高三三模）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数，则，

因为函数在上是单调函数，

所以，即，解得，

即实数的取值范围是，故选C．

2．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，

当时，，在上单调递增，不满足题意；

当时，由得，由得

所以在上单调递减，在上单调递增，

要使得函数在区间上不是单调函数，

则有，解得：.故选：C

3．（2020·福建厦门双十中学高三三模）“”是“函数在区间上是增函数”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，所以，

显然，则有函数在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，可以为0，所以“”是“函数在区间上是增函数”的充分而不必要条件．故选：．

4．（2020·黑龙江鹤岗·三模）若函数在区间上单调递增，则取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，又在的值域为，所以.

故选：B.

5．（2020·江苏省苏州中学园区校高三三模）若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，

若在上不单调，则在上有变号零点，

又单调递增，，即，解得．

的取值范围是．故选：．

6．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高三三模）若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数在区间上单调递减，

所以在恒成立，

所以即解得：.

7．（2020·安徽省枞阳县浮山中学高三三模）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，因为，所以，

即在上单调递增，故在上恒成立，

即，令.

则，max，即的取值范围为.

故选A.

8．（2020·全国高三三模）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得.则有或

所以或，即函数的定义域为

令，则

当时，不合要求，

由得.从而在上是减函数，

又函数在内单调递增，则有所以，

故选：B.

9．（2020·江西省信丰中学三模）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】因为函数在上为减函数，

所以在上恒成立，即恒成立，

，在上 恒成立，，，故.

故答案为：.

10．（2020·山东聊一高三三模）若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由题意知，在上恒成立.

设，[－1，1]，

则在[－1，1]上恒成立，

所以只需，解得，

故答案为：

11．（2020·黑龙江鹤岗·三模）已知函数，若对任意的，，恒有成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为，所以，且

在时，，函数单调递减；

在时，，函数单调递增.

所以，

因为，，所以，

因为对任意的，，恒有成立，

所以，即，

解得.故答案为：

12．（2020·四川泸县五中高三三模）在单调递增，则的范围是__________．

【答案】

【解析】，则，

因为函数在上单调增，可得在上恒成立，

即，令，则，，

所以，因为在上是增函数，

所以其最大值为，

所以实数的取值范围是.