专题11 含参数函数的单调区间问题（原卷版）学案

专题11  含参数函数的单调区间问题

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从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.

1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.

2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解

3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式

4、关于分类讨论的时机与分界点的确定

（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论.思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果.所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始.体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论.（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定.要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色.例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论.

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解

（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类.

【经典例题】

例1．（2020·通榆县第一中学校高三三模）已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例2．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

例3．（2020·安徽省怀宁县第二中学高三三模）已知函数在区间上是减函数，那么 （ ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最大值

例4．（2020·江苏广陵·扬州中学高三三模）已知函数，对任意的实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·于洪·辽宁省实验中学分校高三三模）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

例6．（2020·福建湖里·厦门双十中学高三三模）若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a的取值范围为___．

例7．（2020·宁夏银川一中高三三模）若在上是减函数，则的取值范围是_______.

例8．（2020·寻甸回族彝族自治县民族中学高三三模）函数在区间内单调递减，则的取值范围是________.

【精选精练】

1．（2020·西藏乃东·山南二中高三三模）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

2．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·福建厦门双十中学高三三模）“”是“函数在区间上是增函数”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2020·黑龙江鹤岗·三模）若函数在区间上单调递增，则取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·江苏省苏州中学园区校高三三模）若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高三三模）若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

7．（2020·安徽省枞阳县浮山中学高三三模）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

8．（2020·全国高三三模）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·江西省信丰中学三模）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.

10．（2020·山东聊一高三三模）若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.

11．（2020·黑龙江鹤岗·三模）已知函数，若对任意的，，恒有成立，则实数的取值范围是______．

12．（2020·四川泸县五中高三三模）在单调递增，则的范围是__________．