专题07 分段函数为载体的种种问题（解析版）学案

专题07  分段函数为载体的种种问题

【热点聚焦与扩展】

分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化.即“分段函数——分段看”.高考关于分段函数的考查，往往与函数的图象和性质相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．

1、分段函数的定义域与值域——各段的并集.

2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起.

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性.如果不便作出，则只能通过代数方法比较的关系，要注意的范围以代入到正确的解析式.

4、分段函数分析要注意的几个问题

（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的.否则是断开的.例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析.再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段.

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数.例如：，可转化为：

5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论.

6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合.

【经典例题】

例1.【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路导引】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案．

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，令，即与的图象有个不同交点．

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以．

综上，的取值范围为，故选D．

【专家解读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．

例2．（2020·吉林长春外国语学校高三三模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的图象如图所示：

因为，所以，解得，

所以满足的x的取值范围是，故选：D.

例3．（2020·河北桃城·衡水中学高三高三三模）已知函数（）的最小值为0，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

则，

由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，

结合图像，，得，所以.故选：C

例4．（2020·河南罗山高三三模）函数在内单调递减，则的范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数在内单调递减，

所以，即，得.故选：C.

例5．（2020·江西高三三模）若函数有最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】A

【解析】由时，递减，可得，无最大值，

函数有最大值，

可得时，取得最大值，且，

由的导数为，

可得时，，递减；时，，递增.

即有在处取得极大值，且为最大值.

若，则在，递增，可得，

由题意可得，即得，

令，则，，

则在递减，可得，

则不等式无实数解.

故，此时在处取得最大值，为，故，

解得，综上可得，的范围是，.故选：A.

例6．（2020·浙江省宁海中学高三三模）对于任意集合，设，已知集合，则对任意的，下列说法错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于，因为，可得则，

所以当时，，当时，

即对于任意的，都有，故正确；

对于B，当时，，

当时，，故B正确；

对于C，当时，，

当且时，，

当且时，，

当且时，，故C正确；

对于，当且时，，故不正确；

故选：D

例7．（2020·安徽高三三模）已知函数的最小值为2，则（    ）.

A．10 B．8 C．7 D．6

【答案】A

【解析时，是减函数，，

时，是增函数，，

由题意，，此时在时，，满足题意．

所以．故选：A．

例8．（2020·汨罗市第二中学高三三模）已知函数若存在实数，使得函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于在上是单调递减函数，

当时，，

当时，，所以.

令，则，

解得或，当时，函数取得极小值，

当时，解得，，（舍），

所以，故选：B.

【精选精练】

1．（2020·陕西高三三模）设函数，则（　　）

A．9 B．11 C．13 D．15

【答案】B

【解析】∵函数，

∴=2+9=11．故选B．

2．（2020·武威第六中学高三三模）已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，

令，则；，则，

∴函数在单调递增，在单调递减.

∴函数在处取得极大值为，

∴时，的取值范围为，

∴

又当时，令，则，即，

∴

综上所述，的取值范围为.故选C.

3．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，因此，实数的取值范围是．故选：B.

4．（2020·陕西咸阳·高三三模）已知奇函数，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为为奇函数，所以，

令，得，

又，所以，即，

所以.故选；D

5．（2020·辽宁丹东·高三三模）已知函数，若存在实数，满足，且，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】作出函数的图象，如图所示：

因为，

结合图象可知，可得，

，，

令，解得，

可以判断函数在上单调减，在上单调增，

所以在处取得最小值，且，

故选：D.

6．（2020·麻城市实验高级中学高三三模）已知，则的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当，即时，，则，

当，即时，，

∴的值域是，故选：B．

7．（2020·浙江嵊州·高三三模）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】如图所示，画出函数图像，

当时，，即，故，

即，即；

当时，易知不满足；

当时，，即，故，

即.

综上所述：或.故选：B.

8．（2020·湖南天元·株洲二中高三三模）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，画出函数的图象如下图所示：

恰有三个零点

即有三个不同交点，即有三个不同交点

由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点

即 所以可得所以选A

9．（2020·山东青岛·高三三模）已知函数，且，则（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】，所以，解得．故选：A．

10．（2020·贵州毕节·高三三模）函数，，若存在使得成立，则整数的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】由题意得，

即，所以函数为偶函数，

且函数，满足，所以函数为偶函数，

要使得存在使得成立，

只需当时，有解，即在有解，

即在有解，

令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以当时，函数取得最小值，

要使的使得存在使得成立，可得，

所以整数的最小值为0.故选：B.

11．（2020·北京顺义高三三模）已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，当时，；当时，；当时，.

所以，则，

因为，所以区间，且该区间长度为2.

作出函数的图象，如图1，进而可得到在上的图象，如图2，

根据图象可知在区间上的最大值的取值范围是.

故选：D.

12．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，则下列判断中一定成立的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】方程的四个实根从小到大依次为函数与函数的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为，作函数与函数的图象如下，

由图可知，，故，， 易知，即，即，即，即，又，

，故，故选C.