专题14 利用导数证明一元不等式（解析版）学案

这是一份专题14 利用导数证明一元不等式（解析版）学案，共22页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题14  利用导数证明一元不等式【热点聚焦与扩展】利用函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题，考查学生构造函数、选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式.此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置.1、证明方法的理论基础（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知的公共定义域为，若，则证明：对任意的，有由不等式的传递性可得：，即2、证明一元不等式主要的方法有两个：   第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性   第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法.3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则.4、若在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度.5、合理的利用换元简化所分析的解析式.6、判断解析式符号的方法：（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号【经典例题】1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．（1）证明：；【答案】（1）证明见解析．【思路导引】(1)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式【解析】(1)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．例2．（2020·重庆高三三模）已知函数．（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）解：∵函数在区间上是单调递增函数，∴，化为：，，令，则时取等号..∴实数的取值范围是；（2）证明：在区间上有两个不相等的实数根，即方程在区间上有两个不相等的实数根，记，则，解得，，，令，，记，，令在上单调递增.，因此函数存在唯一零点，使得，当 ；当时，，而在单调递减，在单调递增，而，，，∴函数在上单调递减，，可得：，即.例3．（2020·长春市第八中学三模）已知函，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)因为所以.∵，，∴当时，，函数在(0，1)内单调递减，在内单调递增；当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，，函数在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.(2)当时，由(Ⅰ)得，函数在内单调递减，在内单调递增.函数在内的最小值为.欲证不等式成立，即证，即证.∵，∴只需证.令∴.∴函数在内单调递减，.∵，∴.∴，即当时，成立.∴当时，，.例4．（2020·江西省奉新县第一中学三模）已知函数．（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】（1）的定义域为．由题设知，，所以．从而．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，．设，则为上的增函数，当时，；当时，．所以在上递减，在上递增，所以是的最小值点．故当时，．因此，当时，．例5．（2020·洛阳市第一高级中学三模）函数（为自然对数的底数），为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）证明：的最小值大于.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）对求导可得，所以（1）．由曲线在处的切线方程为可知，故．（2）证明：由（Ⅰ）知，得，又再次求导易知，所以在上单调递增．又，由零点存在性定理可知存在，使得，即，即．当时，单调递减；当时，单调递增．于是，易知在上单调递减，所以．例6．（2020·新疆高三三模）已知函数，其中常数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意知当时，不等式恒成立，即，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴的最小值为，∴实数的取值范围为；（2）证明：由题意知，要证，即证，即证，设，则，设，则，由得；由得；所以函数在单调递减，在单调递增；则，又，，，所以存在，使得，即，故当时，，即函数单调递减；当时，，即函数单调递增；∴，由于，所以，即.例7．（2020·陕西临渭·高三三模）设函数，曲线在点处的切线的斜率为0.（1）求的值；（2）求证：当时，.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）因为所以，由题意可得. （2）由（1）得，要证当时，，只需证时，，即，令，由，得.易知在上单调递减，在上单调递增，故当时，.，当时，，在上单调递增，故当时，，即，故当时，，即当时，.例8．（2019·陕西碑林·西北工业大学附属中学高三三模）已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求证：当时，.【答案】（1），（2）证明见解析；【解析】（1）因为，所以，由题设得， ，在处的切线方程为．（2），，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在，上单调递增，所以，，．过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，，设，，则，，在上单调递减，在上单调递增，又，，，，所以，存在，使得，所以，当，，时，；当，时，，故在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，又，，当且仅当时取等号，故．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以恒成立，即，即，当时，等号成立．【精选精练】1．（2020·宁阳县第四中学高三三模）已知函数.（1）若，证明：；（2）当时，判断函数有几个零点.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）当时，，.. 1+0-单调递增极大值单调递减  ∴函数的最大值为，即当，，∴时，.（2）当时，，.∴. +0-单调递增极大值单调递减∵，∴函数在上只有一个零点.∴当时，函数在上只有一个零点.2．（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高三三模）已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，；令，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单点递增，在上单点递减，．要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．则，即实数的取值范围为．     （2），；设，； 设，，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减. .设，.当时，恒成立，则在上单调递增，，即当时，.   当时，关于的不等式在上恒成立.3．（2020·福建省泰宁第一中学高三三模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意函数的定义域为，，当即时，恒成立，在上单调递增；当即时，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：若，则，设，则，由可得即的增区间为，由可得即的减区间为，所以，因为，所以，故，即，所以，故.4．（2020·江西高三三模）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）当时，，当时，，∴时，在上递减，在递增时，在上递增，在递减（2）设则，时，，递减，递增，设，,则时，时，递增，时，，递减，，即5．（2020·重庆高三三模）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.（1）判断的零点的个数，并说明理由；（2）证明：对恒成立.【答案】（1）1，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）解：，，则.当时，，，则，此时无零点；当时，，，，所以在上单调递增.因为，，所以在上存在唯一的零点.综上，的零点的个数为1.（2）证明：设函数，则，设，则.因为，所以，，所以，则在上单调递增，则，即，从而在上单调递增，于是，故，即对恒成立.6．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）已知函数的图象与直线相切.（1）求实数的值；（2）若存在实数满足且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设切点为，则，消得，令，得当时，所以在区间单调递增，且又因为当时，，所以，得.（2）由已知，因为函数为增函数，且所以，，即令，（当且仅当时，取等号）即.令，因为在为单调递增函数，，.所以存在，使得，且，，，即，即函数在为单调递减函数，在上是单调递增函数所以又因为，所以所以原不等式成立.7．（2020·重庆高三三模）已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）当时，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】（1），由题意知 ，又设显然当时，，因此函数是增函数，而，所以当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，故符合题意；（2）当时，对于时，有，即，故要证明，只需证明，令，即只需证明则有，设则显然当时，，因此函数是增函数，，故存在，使得，即，因此当时，单调递减，当时，单调递增，所以有又，∴，设则单调递减，因此有故，故原不等式得证.8．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）已知函数.  （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）见解析【解析】.(1)当时，，令，有或，当或时，；当时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即， ，设，则，在上单调递减，所以，即 .9．（2020·安徽省舒城中学高三三模）已知（Ⅰ）求函数上的最小值；（Ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（I），当，，单调递减，当，，单调递增．①无解；②，即时，； ③，即时，在上单调递增，，所以．（Ⅱ），则， 设，则， ，，单调递增，，， 单调递减，所以，因为对一切，恒成立， 所以； （Ⅲ）问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．10．（2020·甘肃省岷县第二中学三模）已知函数在上满足，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明：对任意、，不等式恒成立.【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析.【解析】（1），由，得，可得.，，由于函数在处取得极值，则，解得，，，从而.当时，，则函数在上是增函数；在时，，则函数在上是减函数；当时，，则函数在上是增函数.所以，函数在处取得极大值，即；（2）由（1）知，函数在上是减函数，当时，，.所以，对任意、，不等式.11．（2020·福建省泰宁第一中学高三三模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数.    （2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，    所以.所以当时，，即，即.12．（2020·河北枣强中学高三三模）已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）求证：.【答案】（1）递增区间为；递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）当时，，令，则在上为减函数，且所以，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.故递增区间为；递减区间为（2），只需证即易证成立.记，则令，得并且，当时，，单调递增；当时，，单调递减所以，即，命题得证．