专题15 利用导数证明多元不等式（原卷版）学案

专题15  利用导数证明多元不等式

【热点聚焦与扩展】

利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.

1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：

（1）利用条件粗略确定变量的取值范围

（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用

2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序

3、证明多元不等式通常的方法有两个

（1）消元：① 利用条件代入消元  ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元

（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式

（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.

【经典例题】

例1．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个零点，，证明：.

例2．（2020·安徽高三三模）已知点是曲线上任意一点，.

（1）若在曲线上点P处的切线的斜率恒大于，求实数a的取值范围.

（2）点､是曲线上不同的两点，设直线的斜率为k.若，求证：.

例3．（2020·四川高三三模）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点､，且，求证：.

例4．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）已知函数在处的切线与直线平行．

（1）求实数的值，并判断函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，且，求证：．

例5．（2020·江西景德镇一中高三三模）已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，且，证明：.

例6．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．

（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．

例7．（2020·湖南常德市一中高三三模）设关于的方程有两个实根，且.定义函数.

（1）求的值；

（2）若，求证：.

例8．（2020·全国高三三模）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，，证明：．

【精选精练】

1．（2020·陕西高三三模）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求证：．

2．（2020·福建高三三模）已知函数.

（1）当时，求的最值；

（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.

3．（2020·全国高三三模）已知函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；

（2）为的导函数，当，时，求证：．

4．（2020·河南高三三模）已知函数，.

（1）设函数，若，求的极值；

（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.

5．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若，使得成立，求实数a的取值范围；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.

6．（2020·辽宁大连·高三三模）已知，函数.

（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

附：简单复合函数求导法则为.

7．（2020·甘肃高三三模）已知函数的导函数为.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.

8．（2020·内蒙古乌兰察布·三模）已知.

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）当时，若正数，满足，求证：.

9．（2020·云南师大附中高三三模）已知函数.

（1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；

（2）记的极值点为，函数的零点为，当时，证明：.

10．（2020·山东聊城·高考三模）已知函数

讨论函数的单调性；

设，若不相等的两个正数满足，证明：．

11．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三三模）已知函数.

（1）求函数的最值；

（2）函数图象在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.

12．（2020·宁夏银川一中高三三模）已知函数的图象在处的切线过点.

（1）若函数，求的最大值（用表示）；

（2）若，证明：.