专题03 解三角形（周长问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

三角函数与解三角形

专题三：解三角形（周长问题）

解三角形是高中数学教学中的一个重要内容，也是高考的热点之一。解三角面积或者周长最值问题，由于涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，往往成为学生的弱项。本文结合具体例题，讲解核心秘籍。

1、正弦定理及其变形

2、余弦定理及其推论

3、常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

4、基本不等式

①

②

二、例题讲解

1．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为

（1）求角；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角；

（2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围.

【详解】

（1）由题意得，，

由余弦定理得，即.

（2）方法一：由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：，

由余弦定理得；整理得，所以，又两边之和大于第三边，所以∴.

方法二：由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：，

由正弦定理知，，

∴，即，

而，又，

∴，可得，

∴.

2．（2021·陕西汉台中学高三月考（文））已知锐角内角，，及对边，，，满足．

（1）求的大小；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值．

（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围．

【详解】

解：（1）因为，

由正弦定理可得，

又因为，

所以，

可得，

由，可得．

（2）因为，，

由正弦定理，可得，，

可得，

因为锐角三角形中，所以，解得，所以，

所以，可得．

三、实战练习

1．（2021·湖北高三开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．

【详解】

解：（1）由及正弦定理得，

所以，所以，

所以，由，可得；

（2），，所以，

所以：

，

因为为锐角三角形，则，解得，

所以，，则，

所以，.

2．（2021·全国高三其他模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，.

（1）求角的大小；

（2）若，，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围即可得解；

（2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得.

【详解】

（1）在中，因，则，即，而，得，

所以角的大小为；

（2）由知，于是得为钝角，又，则，

由正弦定理得，则，，

则，

而，即，则，

于是得，，

所以周长的取值范围为.

3．（2021·肥城市教学研究中心）在中，内角的对边分别为，且满足.

（1）求A；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由正弦定理得，化简得，

利用的范围可得答案；

（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.

【详解】

（1）由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

即，

解得，

因为，所以.

（2）由正弦定理得，

所以，

所以

，

因为，所以，

所以，

所以.

4．（2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足．

（1）求角的大小；

（2）若边长，求的周长的取值范围．

【答案】（1）；（2），．

【分析】

（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合，可得的值；

（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，再由求出的周长的取值范围．

【详解】

（1）的面积满足，由面积公式和余弦定理得，

则，即，又，所以．

（2）因为，，所以由正弦定理得，

则的周长

，

由得，则，所以，

故的周长的取值范围是，．

5．（2021·重庆高三月考）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）若的面积为2，求的周长的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角；

（2）由三角形面积求得，再由基本不等式求得的最小值，结合余弦定理求得的最小值，从而得周长最小值．

【详解】

解析：（1）由已知，得，

由正弦定理，得，

即.

再由余弦定理得.

又，所以.

（2）由（1）及已知得，的面积为，所以.

又，当且仅当时等号成立，

于是，

所以三角形周长，

所以周长最小值为，

此时，.