专题03 利用导数研究函数恒成立问题 (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案

这是一份专题03 利用导数研究函数恒成立问题 (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案，共15页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。

一、必备秘籍
分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
①一般地，若对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需。
二、例题讲解
1．（2021·浙江嘉兴·高三模拟预测）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立.求的取值范围；
【答案】（1）的单调增区间为；单调减区间为；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）分情况讨论，然后用导数法求单调区间即可；
（2）由得，令，则问题可转化为成立，利用导数法求解的最值即可求解；
【详解】
当时，，
，由解得，由解得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得的定义域为，
，
令解得，
由解得，由解得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；
综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
令，
则，
令，则，
由解得，由解得，
故在递增，在递减，，
，所以，
在上单调递增，
，
的取值范围；
2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；
（2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）当时，，
所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时恒成立，此时，
当时在上恒成，
令，则，
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
三、实战练习
1．（2021·山东济宁一中高三开学考试）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）对函数求导，进而讨论a的范围，最后得到函数的单调区间；
（2）采用分离参数法，转化为求函数的最值问题，通过导数方法求出函数的最值，进而得到答案.
【详解】
（1）函数的定义域为，
时，恒成立，函数在上单调递增；
时，令，得．
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）若x=1，成立，；
若，问题恒成立，记，，
则函数g（x）在上单调递减，所以，所以.
综上：.
2．（2021·吉林长春外国语学校高三开学考试（理））设函数．
（1）证明：当时，；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题可求出函数的最小值，根据条件可得最小值大于等于0即证；
（2）利用参变分离，然后求函数的值域即可.
【详解】
（1）由题意可知函数的定义域为，
又，令得，，
∴当时，，当时， ，
∴在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
当时，，∴，
即当时，；
（2）∵对任意的，都有，
∴在上恒成立，
故在上恒成立，令，则
在上恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
所以.
3．（2021·全国高三开学考试（理））已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，均有，求实的最小值．
【答案】（1）减区间为（0，1），增区间为；（2）1.
【分析】
（1）化简函数并求解导函数，进而确定单调区间即可；
（2）运用变量分离法构造新函数转化不等式恒成立问题，进而求解出参数的值.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，，则，
当时，，在上 单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的减区间为（0，1），增区间为；
（2）因为对任意的，恒成立，即恒成立．
令，则，
令，则在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，则．
所以，又恒成立，
所以，故m的最小值为l．
4．（2021·孟津县第一高级中学高三月考（文））定义在上的关于的函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）．
【分析】
（1）直接解和即可得到的单调性；
（2）分类讨论：先判断，不合题意﹔当时，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；当，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；
【详解】
（1），
时，，
在上，，单调递减﹔
在上，，单调递增．
（2）由（1），
若，在上，，单调递增，，不合题意﹔
若，
在上，，；
在上，，，
由题意，，
若，
在上，，单调递减，
则在上，符合题意，
综上所述，．
5．（2021·全国高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1），；
【分析】
（1），，根据函数的图象在点处的切线的方程为．可得（1），（1），解得，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数的取值范围．
【详解】
解：（1），.
函数的图象在点处的切线的方程为.
（1），（1），
，解得，.
.
，
，.
当时，函数取得最大值，.
对任意有恒成立，所以，.
.
实数的取值范围是，.
6．（2021·全国高三模拟预测（理））设函数，．
（1）若恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）参变分离将问题等价于恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得到答案；
【详解】
（1）因为，所以
恒成立，即恒成立，
令，，
当时，；
当时，．
，所以．
7．（2021·宁夏银川一中高三模拟预测（理））已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数在处导数，即切线斜率，求出，即可求得切线方程；
（2）不等式可转化为对任意恒成立，构造函数，求出导数，再构造函数，通过导数可得，从而得出单调递增，求得最大值即可.
【详解】
（1）若，则，则，
则，即切线斜率为，又，
则切线方程为，即；
（2）由可得，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则，
所以在单调递增，则，
则，所以在单调递增，，
所以，即.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是分离参数并两次构造函数讨论单调性，从而求得函数的最大值.
8．（2021·安徽安庆一中高三三模（文））已知函数．
（1）讨论的极值
（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求a的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）求导得，进而分，两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意将问题转化为对，都有恒成立，进而令，，求函数的最小值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
①时，，所以在单减，没有极值
②时，令得，故在单调递增，
令得，故在单调递减.
有极小值，没有极大值
（2）原题等价于对，都有恒成立，
等价于对，都有恒成立，
令，，
则，令，可得，
若，则；若，则，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，即
的取值范围是．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，求解不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为对，都有恒成立，进而构造函数求解函数最值即可.
9．（2021·河南高三模拟预测（文））已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）1.
【分析】
（1）由解析式确定函数定义域，利用导数研究的单调区间即可.
（2）由题设知在上恒成立，即恒成立，构造，利用导数研究单调性，进而确定最大值，即可求m的范围.
【详解】
（1）由，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的增区间为，减区间为；
（2）∵对于任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立.
令，则，
令，则在上单调递增，
∵，
存在，使得，
当时，单调递增；当时，单调递减，由，可得，
，又恒成立，
，故m的最小值为1.
【点睛】
关键点点睛：第二问，应用参变分离法，将原不等式转化为在上恒成立，令只需即可，结合导数求最值.
10．（2021·北京海淀·清华附中高三模拟预测）已知函数，其中．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值．
(2)若函数在定义域內单调递减，求的取值范围．
(3)若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)2；(2)；(3).
【分析】
(1)对函数求导，由导数的几何意义即可得解；
(2)由函数在定义域内单调递减，可得导函数在该定义域上恒小于等于0，进而求解即得；
(3)对给定不等式等价变形，分离参数，再构造函数，利用函数最值求解而得.
【详解】
(1)函数定义域为，
，
依题意：，解得；
(2)由(1)知，，
令，则，
时，时，即在上递减，在上递增，时，
即，所以a的取值范围是；
(3)，，
令，则，
令，则
令，则，即在(0，1]上递减，而，
存在有，时，即，时，即，
于是在上递增，在上递减，而，则时，
时，则在(0，1]上递增，，即，
所以a的取值范围是
【点睛】
思路点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
感悟升华（核心秘籍）
对于恒成立问题，最核心的方法是变量分离法；
1、变量分离时，注意不等式的方向是否改变
2、变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导。