专题26 应用AD=xAB+ yAC解题探秘（解析版）学案

专题26  应用解题探秘

【热点聚焦与扩展】

高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．要特别注意基底的不唯一性-----只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量，均存在唯一确定的，（其中），使得.其中称为平面向量的一组基底.

（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量

（2）唯一性：若且，则

2、“爪”字型图及性质：

（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得.则三点共线

当，则与位于同侧，且位于与之间

当，则与位于两侧

时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上

（2）已知在线段上，且，则

3、中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

【经典例题】

例1.【2020年高考江苏卷13】在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是             ．

【答案】

【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，

故，，故，故．

在中，；在中，由正弦定理得，

即．

【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是理解平面向量数量积的定义．

例2．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为为的中点，所以，

所以，

又，所以，，故选：C.

例3．（2020·河南濮阳·高三三模）如图所示，等边的边长为，，且.若为线段的中点，则（    ）

A．24 B．23 C．22 D．18

【答案】B

【解析】依题意知，与的夹角为，

且，又为线段的中点，

所以，

，

因此

.故选：B.

例4．（2020·福建高三三模）已知正方形的边长为1，点满足，设与交于点，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】以为原点，和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，

，为线段的靠近点的三等分点，，

直线的方程为：；直线的方程为：，

联立，解得，点．

．故选：A．

例5．（2020·山东聊城·高三三模）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取中点为，连接，，

因为是圆的一条动弦，且，

所以，

又，，即

因此，取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，

又点为直线上的任意一点，

所以点到直线的距离，即是，

即，

因此，

即.

故选：C.

例6．（2020·安徽黄山·高三三模）如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，,

,

设，则，，

所以

，

因为，

所以当时，取最小值，当时，取最大值4，

所以的取值范围是，故选：B

例7．（2020·山东·济宁一中高三三模）在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】设，，则，

，

∴

，

∵，∴时，取得最大值5．故选：C．

例8．（2020·江西省奉新县第一中学高三三模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为(   )

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】

，得到，所以，结合

的面积为，得到,得到，所以

，故选D．

【精选精练】

1．（2020·河南高三三模在中，，分别为，边上的点，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，

设，且，则：

，

，

，解得，

故选：A．

2．（2020·湖南高三三模）在平行四边形中，点分别在边上，且满足， ，若 ，，则(   )

A． B．0 C． D．7

【答案】B

【解析】如图：

，，且 ，，

则

 .故答案选B.

3．（2020·赤峰二中高三三模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】．

∵，，三点共线，

∴．即．由图可知．

∴．

令，得，

令得或（舍）．

当时，，当时，．

∴当时，取得最小值 .

故选D．

4．（2020·四川达州·三模）在中，，，的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，令，则为直线上的动点，如图所示，

，当直线时，取得最小值，

∵，， ∴.

故选：A.

5．（2020·江西东湖·南昌十中高三三模）已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（    ）

A．-1 B．-2 C．-3 D．-4

【答案】C

【解析】因为,

由于圆的半径为，是圆的一条直径，

所以，，

又，所以

,

所以当时，，

所以的最小值为.故选：C.

6．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三三模）在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为D是边AC上的一点(包括端点)，∴设

∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴，

∴

∵，∴.

∴的取值范围是.故选D.

7．（2020·重庆高三三模）已知P为在平面内的一点，，若点Q在线段上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

，

设，则（当时取等号）.

所以的最小值为.故选：B.

8．（2020·湖南邵阳·高三三模）如图，在中，为中点，与相交于，若，则（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，向量，为中点，且，

可得.

因为三点共线，所以，解得，

又由，为中点，且，

可得

，

因为三点共线，所以，解得，

所以.故选：D.

9．（2020·河南高三三模）在中，过重心的直线分别与交于，则的最小值为(    )

A． B．3 C． D．不存在

【答案】A

【解析】由题意，可知三点共线，

可得，

所以，，

则；

同理可得 ，所以，

又由

，

当且仅当，时取等号.

故选：A.

10．（2020·四川武侯·成都七中高三三模）在中，，，，为的外心，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，

过分别做，的平行线，，

由题知，

则外接圆半径，

因为，所以，

又因为，所以，，

由题可知，

所以，，

所以.故选：D.

11．（2020·河北保定·高三三模）已知在内有一点P，满足，过点P作直线l分别交边AB、AC于M、N，若，，则mn的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【解析】因为在内有一点P，满足，

且，

所以，

因为共线，

所以，

又因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，当且仅当，，即时，取等号.

故选：A

12．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，且，

所以，即，

因为，

所以，

由等和线性质得，解得.

故选:A.