专题04 二面角（含探索性问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题04 二面角（含探索性问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共26页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
立体几何
专题四：二面角
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线、,则称为二面角的平面角。
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．

（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角。）
二、例题讲解
1．（2021·湖北高三月考）如图，在三棱柱中，点，分别在棱，上（均异于端点），，，平面．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证明，可得，结合，可得四边形为平行四边形，再由平面，可得，即得证；
（2）取的中点G，连结，取的中点H，可证明平面，，以G为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，由二面角的向量公式，即得解
【详解】
（1）证明：因为三棱柱，所以，
因为平面，所以平面，
又因为，平面，所以，，
所以，因为，且，
所以，所以，，
因为，所以四边形为平行四边形，
因为平面且平面，所以，
故四边形是矩形；
（2）

取的中点G，连结，由（1）可知，，
因为平面且平面，所以平面平面，
因为平面平面，且平面，所以平面，
取的中点H，
以G为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，
在中，因为且，
所以为等边三角形，所以，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为
则有，即，
令，则，所以，
因为平面的一个法向量为
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为，


感悟升华（核心秘籍）

利用法向量求二面角注意点：
1、两个平面的法向量；
2、，本题特别说明了，求锐二面角余弦值，所以最后答案是正的。
2．（2021·广西高三开学考试（理））在三棱锥中，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）已知M是线段上一点，，且二面角的余弦值大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过点作于点，连接，在直角，求得，，在中，由余弦定理求得，进而证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面.
（2）以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）如图所示，过点作于点，连接，
在直角，因为，可得，
则，，
因为，所以，且，
在中，由余弦定理可得，所以，
在中，因为，
所以，所以，
又由且，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，
则平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
可得，取，可得，
所以，
因为二面角为钝角，所以二面角为.




感悟升华（核心秘籍）

利用法向量求二面角注意点：
1、两个平面的法向量；
2、，本题需考生自己看图，判断二面角平面角是钝角，所以取值为负数。
3．（2021·黑龙江大庆实验中学高三模拟预测（理））已知正四棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出平面以及，然后根据线面垂直的性质得出，最后根据线面垂直的判定与性质即可证得结论；
（2）首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果；
（3）本题可设为线段上一点，，然后根据得出，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果.
【详解】
（1）因为四棱柱是正四棱柱，
所以平面，，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
因为平面，所以是平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
故，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）设为线段上一点，，，
，，
，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
若平面平面，则，即，解得，
故当时，平面平面.





感悟升华（核心秘籍）

利用法向量求二面角注意点：
1、本题是探索性问题，是否存在点，本题是很好的例子，本题设，这是探索性问题的常规方法，再结合向量的加减法表示题目所需的向量。
2、含参数的向量，在求法向量时需特别细心，法向量错了，后续都错了；
3、本题也可直接设，因为所在位置特殊，所以本题这样设点，也只引入了一个未知数。若的位置不是这么特殊，建议考生就向本题解答这样设这样只引入一个未知数，避免设点一下子引入三个未知数。

三、实战练习
1．（2021·河北沧州市·高三月考）如图所示，已知四棱锥中，四边形为正方形，三角形为正三角形，侧面底面，是棱的中点．

（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）取的中点O，连接，并过O点作的平行线，交于E，即可得到，，从而得到底面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；
（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，从而求出其正弦值；
【详解】
解：（1）取的中点O，连接，并过O点作的平行线，交于E，则
∵三角形为正三角形
∴
∵平面底面且平面底面
∴底面
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令，

则，，，
，

∴
（2），
设平面的一个法向量为
则即
令，
设平面的一个法向量为
则即
令，
所以，
所以
∴二面角的正弦值为
2．（2021·江苏南京·高三月考）在如图所示的几何体中，四边是矩形，，四边形等腰梯形，，，且平面平面，．

（1）过与平行的平面与交于点．求证：为的中点；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接交于点H，可得H为中点，连接，根据线面平行的性质定理，可证，即可得G为的中点；
（2）作，作，根据面面垂直、线面垂直的性质定理，可证，，如图建系，求得各点坐标，分别求得平面的法向量为和的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，可得答案.
【详解】
解析：（1）证明：连接交于点H，
因为为矩形，则H为中点，连接．
因为平面，平面平面平面，
所以，
所以G为的中点．

（2）在平面上作，垂足为O，由于平面为等腰梯形，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
在平面中，作，交于M，所以，
以O为原点，OM、OC、OF为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系． 如图所示：

则，设．
因为，所以，即，
所以，解得．
设平面的法向量为，而，
由，得，
令，解得，所以一条法向量.
由于，
所以，
又，所以平面，
所以为平面的法向量，
所以，
所以二面角的正弦值为．
3．（2021·广东高三月考）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，且顶点到，，，的距离相等，与交于点，连接.

（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1)利用线线垂直，得到线面垂直.
(2)建立适当的空间直角坐标系，即可求解.
【详解】
（1）证明：因为四边形是正方形，
所以为，的中点，
因为，，
所以，，
又，
所以底面，
所以.
（2）解：以为原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
，令，得.
设平面的法向量为，
，令，得.
所以，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为.

4．（2021·广东实验中学高三月考）如图，四棱锥中，，，点是的中点，点在线段上，且．

（1）求证：平面；
（2）若平面，，，求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）延长交于，连接，由三角形相似易得，结合已知有即，根据线面平行的判定可证平面CEF；
（2）过作轴，构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求锐二面角的余弦值．
【详解】
（1）延长交于，连接，
∵ F是AB的中点，，
∴，即，又，
∴，则，又面，面，
∴平面CEF；

（2）由题意，，即，又平面ABC，
∴过作轴，即构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，又，，

∴，故，
若是面的一个法向量，则，若，即
若是面的一个法向量，则，若，即，
∴，故锐二面角的余弦值为.
5．（2021·全国高三月考）在四棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点．

（Ⅰ）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）存在，点为的中点；（Ⅱ）.
【分析】
（I）当点为的中点时，平面,可证明平面、平面，可得平面平面，又平面，即得证；
（Ⅱ）取的中点为，为坐标原点，为轴的正方向，为y轴的正方向，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由，可求得，再分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解
【详解】
（Ⅰ）

存在，当点为的中点时，平面．
因为，分别为，的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为，所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
（Ⅱ）取的中点为．由已知可得，．
因为平面，所以，，
则以为坐标原点，为轴的正方向，为y轴的正方向，为轴的正方向建立空间直角坐标系．

，，，．
设，则，
则，，
所以，
解得或（舍）．
因为，所以，
所以点，
，，，．
设平面的法向量为，
则
令，则．
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以，
由图易知二面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
6．（2021·榆林市第十中学高三月考（理））如图1，在平行四边形中，，，为的中点，沿将翻折到的位置，如图2，点在平面内的正投影点在上，在上，平面.

（1）证明：为的中点.
（2）求平面与平面所成二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理求得，得，再由线面平行得线线平行，得，
由线面垂直得线线垂直，从而可证得，得，由等腰三角形性质得中点．
（2）分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
【详解】
解：（1）由题意，易知，.
则.
∵，∴，
平面，平面平面，平面，
∴，∴.
连接，∵平面，平面，∴ ，，
又，∴，∴，
∴为的中点.

（2）设，在梯形中，，∵ ，
∴，.在边长为的正三角形中，，
∴，，则易知.以为原点，
分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设平面的法向量为，，，
∵ ，∴ ，取，则.
设平面的法向量为，，，
∵ ，∴ ，取，则，
∴，
即平面与平面所成二面角的大小为.

7．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））已知直角梯形中，//，，，， .平面，.

（1）求证：面；
（2）求二面角的余弦值 .
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明；
（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式即求.
【详解】
（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，
∴，，，
∴，，
∴，，又，
∴平面
（2）解：由（1）知，平面的法向量为，，
设平面的法向量，则
，令则，
则.
∴二面角的余弦值为.
8．（2021·河南高三月考（理））如图，在直三棱柱中，为棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，且，，，求二面角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）证明，即可证得线面平行；
（Ⅱ）证得，然后以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角．
【详解】
（Ⅰ）如图，连接与交于点，连接．

在直三棱柱中，侧面是矩形，所以是的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）由为的中点，，且，
可知且．因此，
以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，，，，
则，，．
设为平面的法向量，
则可取．
设为平面的法向量，
则同理可取．
因为，
所以二面角的正弦值为．
9．（2021·湖北恩施·高三开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．

（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；．
【分析】
（1）先证明平面，进而得到面，得出，再根据条件证明，最后根据线面垂直的判定定理得到结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出两个平面的法向量，进而根据面面垂直求出k.
【详解】
（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．
又，为的中点，所以，而，所以平面．
（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．

所以，设（），所以，则，所以，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得．
即时平面平面.
10．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）如图1，菱形中，动点，在边，上(不含端点)，且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.

（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；
（2）试讨论，当点的位置变化时，二面角是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）;
【分析】
根据题目信息建立空间直角坐标系，
（1）将直线的方向向量表示出来，根据数量积等于0求解题目中的取值，进而可以求得，最后获得体积之比；
（2）分别将两个平面的法向量求解出来，根据面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根据角是钝角得出结果即可.
【详解】
(1)取的中点为，
因为即，所以,
所以,又因为平面平面，
平面平面，
所以平面，
连接,由题意可知,
以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，,,，
所以，，
因为，所以，
解得：或者（舍）；
因为三棱锥和四棱锥的体积分别为，，
所以.
(2) 二面角是定值,证明如下：
由（1）知，面的法向量，
由，，
设面的法向量为 ，
所以，
取，则，，即，
设二面角的平面角为，
所以，
由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为.

【点睛】
用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
11．（2021·广东梅州·）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，在直角梯形中，，，，，是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取BC的中点Q，连接PQ、AQ，由线面垂直判定定理可证面，即可得证；
（2）以Q为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.
【详解】
（1）证明：如图，取BC的中点Q，连接PQ、AQ，因为是等边三角形，所以，
又平面平面ACDE，，平面平面ACDE=AC，所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以面，
因为，又P是棱BD的中点，所以，，又，，
所以，，即四边形是一个平行四边形，所以，
所以平面BCD；

（2）由（1）得平面，所以以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的法向量为，
由，
因为点M在线段上，设其坐标为，其中，
所以，
设平面的法向量为，
由，
由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，
则或，因为，
所以，所以.
【点睛】
方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.
12．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，.是等边三角形，平面平面，点在棱上.

（1）当为棱中点时，求证：；
（2）是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）要证明线线垂直，先证明线面垂直，由垂直关系证明平面；（2）点作交于点，由面面垂直可知平面，再以点为原点，建立空间直角坐标系，设，并表示点的坐标，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角公式，求解.
【详解】
证明：连结，由题意，底面是等腰梯形且，
则，由余弦定理知，
，

平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，为棱中点，且是等边三角形，
，
又，
平面，
.
假设存在点使得二面角的余弦值为.
由题意过点作交于点，
平面⊥平面，
平面，取中点，连结，则，
由知平面，
所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

，，
设，
则.
，
设平面的一个法向量为，则

，令，
则，
易知平面的一个法向量为，则
，
则，，
即，.
【点睛】
方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：
一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；
二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.
13．（2021·北京人大附中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点.已知，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.
【分析】
（1）连接交于，连接，利用线面平行的判定定理即可证得结论.
（2）利用线面垂直的性质定理可知，，以D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用空间向量求二面角的余弦值即可.
（3）设，其中，通过，求解N的坐标，再求解的长度即可.
【详解】
（1）连接交于，连接.
因为底面是矩形，所以是线段的中点.
是线段的中点，.
又平面，平面，
平面.
（2）因为底面，底面，底面，
所以，.
因为底面是矩形，所以.
如图,以D为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
因为是线段的中点，故，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是.
因为底面，所以为平面的法向量.
又，所以.
由题知二面角是锐角，所以其余弦值为.
（3）因为为直线上一点，，其中，.
又，且与垂直
，解得.
所以存在点，使得与垂直，