专题04 数列求通项（构造法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题04 数列求通项（构造法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共8页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
数列专题四：数列求通项 （构造法）一、必备秘籍类型1： 用“待定系数法”构造等比数列    形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式二、例题讲解1．已知数列满足，且，求的通项公式。【答案】分析：符合类型1的标准形式，先构造【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故.2．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足.求数列的通项公式；【答案】（1）；【分析】符合类型2的标准形式。（1）将已知递推式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；【详解】解：（1）由，（左右两边同除以）可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；3．（2021·四川遂宁·高三三模（理））已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【分析】（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；【详解】（1）因为，令，则，又，所以，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，故；    感悟升华（核心秘籍:注意判断已知条件是否符合标准形式）  类型1： 用“待定系数法”构造等比数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；3、构造等比数列  类型2：用“同除法”构造等差数列(1)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(1)的标准形式；2、两边同除；3、构造数列为等差数列  类型2：用“同除法”构造等差数列(2)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(2)的标准形式；2、两边同除；3、构造出新的等差数列 三、实战练习1．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三其他模拟（理））在数列中，；（1）求；【答案】（1）；【分析】（1）由题设可得，即可知为等比数列并写出通项公式，进而可得.【详解】（1）由题意知：，而，∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，∴.2．（2021·全国）已知等差数列中，，，数列满足，.（1）求数列与数列的通项公式；【答案】（1），；【分析】（1）根据等差数列的下标和性质先求解出的值，结合的值可求解出公差，由此可求解出的通项公式；采用构造等比数列的方法可证是等比数列，根据首项和公比可求解出的通项公式；【详解】（1）设数列的公差为，∵为等差数列，∴，∴.∵，∴，解得.∴.∴，∴，∴.∵，∴是首项､公比均为的等比数列.∴，∴.∴，.3．（2020·全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；【答案】（1），；【分析】（1）利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；【详解】（1）数列的前项和为，且，当时，.当时，，显然也适合上式.；数列满足，.整理得，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.故， ；4．（2020·河北冀州中学高三月考）已知数列中，.（1）证明数列是等比数列并求数列的通项公式；【答案】（1）证明见解析；；【分析】（1）推导出，由此能证明数列 是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出 的通项公式．【详解】解：（1）因为，所以 .所以，且 .所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.因此，从而 .5．（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））已知数列满足，求出数列的通项公式；【答案】（1）.【详解】（1）由，可得，而，可推出，即，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．∴，∴.即数列的通项公式为.6．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.【详解】（1），，因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．（2021·河南安阳市·（理））已知数列，满足，，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；【答案】（1）证明见解析，；【分析】（1）由可得，然后得到即可；【详解】（1）由可得，于是，即，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.  已知数列满足，求出数列的通项公式；【答案】【解析】由题， 则则数列是以为首项，2 为公差的等差数列，则