专题29 常见不等式的解法（解析版）学案

专题29  常见不等式的解法

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高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路.

（一）常见不等式的代数解法

1、一元二次不等式：

   可考虑将左边视为一个二次函数，作出图象，再找出轴上方的部分即可——关键点：图象与轴的交点

2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）

①求出的根

② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根

④ 观察图象， 寻找轴上方的部分

             寻找轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式

（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即

（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有绝对值的不等式

（1）绝对值的属性：非负性

（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：

① 的解集与或的解集相同

② 的解集与的解集相同

（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理

5、指对数不等式的解法：

（1）先讲一个不等式性质与函数的故事

    在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如： ，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即

   由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性.增函数→不变号，减函数→变号

    在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当 同号时，

（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：

时，

时，

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了

（3）对于对数的两个补充

① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，

② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁

6、利用换元法解不等式

（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题.

（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围.即若换元，则先考虑新元的初始范围

（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：

①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体

②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式

③解出新元的范围

④在根据新元的范围解的范围

（二）构造函数解不等式

1、函数单调性的作用：在单调递增，则

(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）

2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）

3、导数运算法则：

（1）

（2）

4、构造函数解不等式的技巧：

（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点

（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整

（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.

（三）利用函数性质与图象解不等式：

1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：的对称轴为，且在但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系

2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图象均可作出.再由可知的图象在图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.

【经典例题】

例1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学高三三模）不等式的解集为（  ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】不等式可以因式分解为，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为，故选

例2．（2020·江苏广陵·扬州中学高三三模）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，的解为；

当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，

所以不等式的解集为，

所以不等式的解集为．

故选：C

例3．（2020·陕西高三三模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式恒 成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以

因为，所以,选C.

例4．（2020·青铜峡市高级中学高三三模）已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则

可设，，∴，所以

即

解不等式，所以，解得

所以不等式的解集为.故选：B

例5．（2020·石嘴山市第三中学高三三模）定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为对任意都有，所以在上为减函数；又的图象关于成中心对称，所以关于原点对称，

则，所以，

整理得，解得.故选：D.

例6．（2020·历下·山东师范大学附中高三三模）已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

，，，

为定义在上的偶函数；

当时，，在上单调递减，

又为偶函数，在上单调递增.

由得：

，即，

，解得：，即不等式的解集为.

故选：.

例7．（2020·山东高三三模）已知函数，则不等式的解集是（    ）

A．       B．      C．     D．

【答案】D

【解析】

因为函数的定义域为R，，

所以是偶函数，且在是增函数，

又，

所以不等式等价于，

则，

解得或，

所以不等式的解集为

故选：D

例8．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三三模）设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]

【答案】A

【解析】构造，

则

，

所以为单调递增函数，

又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，

故选：A．

【精选精练】

1．（2020·海南高三三模）不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

原不等式等价于，解得或.

即解集为：故选：A.

2．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三三模）若不等式的解集是，则不等式的解为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，若不等式的解集是，

则与1是方程的根，且，

则有，

解得﹐﹐且；

不等式化为：

，

整理得﹐

即﹐

解可得，

即不等式的解为；

故选：A.

3．（2020·天津南开中学高三三模）设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是（    ）

A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)∪(2，＋∞)

C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3)

【答案】A

【解析】f(1)＝12－4×1＋6＝3，

当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；

当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.

所以f(x)>f(1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)．

4．（2020·青铜峡市高级中学高三三模）已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.

又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴|2x－1|<，解得<x<.

故选：.

5．（2020·浙江温岭中学高三三模）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数是奇函数，则，

即，可得，

则，有，解可得，

即函数的定义域为，

设，则，

，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，

若，即，解可得，

则，即，解得，

又由，则有，

即的取值范围为；

故选：A.

6．（2020·辽宁锦州·高三三模）已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由于是定义在上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数. .由此画出的大致图像如下图所示.由不等式得

当时，，即或，故.

当时，成立.

当时，，即或，解得或.

综上所述，不等式的解集为.

故选：C

7．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模）已知函数在区间上是减函数，且，若则实数x的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】因为，，

所以

因为函数在区间上是减函数，

所以，

所以，

解得 ，

故选：A

8．（2020·洛阳市第一高级中学高三三模）已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，令，，即，即，

令，则，所以在上单调递增，

由因为，所以，

所以不等式，即为，

则，

即，所以，

所以不等式的解集为.

故选：D

9．（2020·江西上高三中高三三模）已知函数，若对于，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【解析】由题意，函数的定义域为R，

且

所以函数是上的偶函数，且在上单调递增，

又由，

所以不等式对于恒成立，

等价于对于恒成立，

即① ②

对于恒成立．

令，则，

解得或时①式恒成立；

令，令，

则当时，即时②式恒成立；

当，即时，不满足②式；

当，即或时，

由，，

且或，知不存在使②式成立．

综上所述，实数的取值范围是．

故选：A.

10．（2020·云南民族大学附属中学高三三模）函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由复合函数的单调性，可知，在上单调递增，

在上单调递增，且函数在处连续，所以在上是增函数，

由，得，解得，

故选：D

11．（2020·全国高三三模）已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵，定义域为，

∴，

∴函数为奇函数，

∵，

∴函数在上单调递减，

∵

∴，则，

∴，

∴，

∴或，

解得，或，

故选：D．

12．（2020·沙坪坝·重庆一中高三三模）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，

∵，即，即，故是奇函数，

由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.

∵在上有，∴，

故在单调递增，

又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，

∵，

∴，

即，∴，故，

故选：B．