专题02 解三角形（中线问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

三角函数与解三角形

专题二：解三角形（中线问题）

  解三角形类问题有中线时，是高考常考的一个问题，在处理相关题目时，很多考生会遇到麻烦，在充分运用正余弦定理处理边角关系，还要能结合中线自身的一些性质进行解题。本专题就中线问题，提出核心秘籍。

一、必备秘籍

1、正弦定理及其变形

2、余弦定理及其推论

3、常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

4、基本不等式

①

②

5、向量化(三角形中线问题）(本节核心秘籍）

如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）

二、例题讲解

（2021·孟津县第一高级中学高三月考（文））的内角、、的对边分别为、、，且满足：．

（1）求；

（2）若是的中点，，，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）延长到，使得，利用平面向量加法的平行四边形法则结合平面向量数量积的运算可得出关于的方程，求出的值，利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理可得，

，则，可得，故；

（2）方法一：如图在中，，

即

在中，

即；

又，所以；

即，整理得：

另：在中，由余弦定理得：，即：

联立两个式，得到；因此，.

方法二：如图，由向量加法的平行四边形法则可得，

所以，，

整理可得，，解得，

因此，.

三、实战练习

1．（2021·山东泰安·高三其他模拟）在中，角所对的边分别为，已知，

（1）若，求；

（2）若边上的中线长为，求的面积.

【答案】（1）  7      （2） 

【分析】

（1）由正弦定理结合条件可得，由正弦的和角公式，可求出角,由余弦定理可得答案.

(2) 由向量知识可得，平方即可得出边，从而可得面积.

【详解】

(1)由，根据正弦定理得

在中，且，则

所以，即

即

即，由且，则

所以，即，且,所以

所以

所以

(2) 设边上的中点为,则，如图

则 ,由（1），在中,,两边同时平方得：

整理得：

解得：或（舍）

所以的面积为

2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，求的中线的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理计算即得；

(2)用表示出，借助向量模的计算公式及均值不等式推理计算即得.

【详解】

（1）在中，由正弦定理化为，即，

由余弦定理得，而，则，

所以；

（2）因是的中线，则，由(1)知，

于是得，

当且仅当b=c时取“=”，则，

所以的中线的最小值为.

3．（2020·四川省蒲江县蒲江中学高三月考（理））在中，是边的中线，，且．

（1）求的面积；

（2）若，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）利用平面向量的数量积计算出的值，利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）求出的长，延长到，使，连接，由平面向量加法的平行四边形法则可得，计算出的值，即可求得的长．

【详解】

（1），则，

；

（2）由得，延长到，使，连接．

由平面向量加法的平行四边形法则可得，

所以，，，即的长为．

4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高一期中）已知在中，．

（1）求角的大小；

（2）若，且，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）对进行恒等变形，得到

根据，求出角C;

（2）由两边平方得到：，利用基本不等式求出，即可求出的最大值.

【详解】

（1）因为，所以

即

因为，则

所以，即：．

（2）由两边平方得，

即：

所以，

又因为

当且仅当时，的最大值为．

5．（2021·定远县育才学校高一月考（理））如图，在△ABC中，点D在边BC上，且＝2．

（1）用向量，表示向量；

（2）若||∶||∶||＝3∶k∶1，求实数k的取值范围．

【答案】（1）＝＋；（2）．

【分析】

（1）由向量的线性运算法则求解．

（2）不妨取||＝3，||＝k，||＝1，设∠BAC＝θ．由（1）中结果平方，把模用数量积表示，得到关于的函数，由此可得范围．

【详解】

解（1）∵＝－，＝－，＝2，

∴－＝2(－)，化为＝＋．

（2）∵||∶||∶||＝3∶k∶1，

∴不妨取||＝3，||＝k，||＝1，设∠BAC＝θ．

由（1）可得k2＝||2＝2＋2＋·＝＋×32＋×1×3cosθ＝，

∵－1<cosθ<1，∴<<，解得<k<，

∴实数k的取值范围是．

6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））在中，角、、所对的边分别为、、，，，，点是上的点．

（1）若是的角平分线，求的值；

（2）若是边上的中线，求的长．

【答案】（1） ；（2）.

【分析】

(1)在，中分别利用正弦定理，结合，可得，从而得出答案.

(2)由，利用余弦定理可得到关于的方程，从而解出答案.

【详解】

解:（1）在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

由条件知，，，

所以．

（2）因为，所以由余弦定理得

所以，．