专题31 数形结合之-简单线性规划（解析版）学案

专题31  数形结合之-简单线性规划

【热点聚焦与扩展】

从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题.

（一）简单线性规划问题

1、相关术语：

（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：

① 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

② 一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域.例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方

③ 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断.例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中.

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）

① 线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关.

② 分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率.

③ 含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方.

（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取.

（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”

（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）

（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.

（二）非常规线性规划问题解答策略

第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算.

【经典例题】

例1．（2020·江西南昌·高三三模）已知，满足约束条件，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，由图知直线经过点时，，当直线经过点时，，所以.故选：C

例2．（2020·湖北武汉·高三三模）已知点，动点的坐标满足不等式组，设为向量在向量方向上的投影，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

则， ，

则在向量方向上的投影为，

设，则，

平移直线，由图象知当直线经过点时直线的截距最小，

此时，

当直线经过时，直线的截距最大，

由，得，即，此时．

即，则，即，

即的取值范围是，

故选A．

例3．（2020·浙江高三三模）若实数、满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，绘出约束条件所表示的平面区域，

因为可以看作经过点与点的直线的斜率，

结合图像易知，当直线经过点时，斜率最小，

所以的最小值为，

故选：A.

例4．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）已知点在表示的平面区域内，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】表示的平面区域如图阴影部分,

点(m+n,m-n)在表示的平面区域内,

设,即在表示的平面区域内,

且,

所以,

则m2+n2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．

由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P到原点的距离,

即原点到直线2x-y-2=0的距离,所以距离的最小值为:

所以m2+n2的最小值为:,

故选：A．

例5．（2020·山西运城·高三三模）已知，满足约束条件，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

设目标函数，化为直线，

当直线过点时，此时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

又由，解得，可得的最小值为，

又由不等式恒成立，即不等式恒成立，

所以，即实数的取值范围是.

例6．（2020·全国高三三模）记不等式组的解集为，，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】可行域如图所示

由 得 ，

当过时，，

.故选：

例7．（2020·江西鹰潭·高三三模）过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以在中，，因为，而函数在上是减函数，所以当最小时最大，因为为增函数则此时最大．根据不等式表示的可行域可知当时．综上可得最小时．故C正确．

例8．（2020·河北石家庄·高三三模）已知、满足，且目标函数的最大值为，最小值为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，画出可行域，

目标函数为，则，表示直线在轴的截距，

，解得，此时；

，解得；，解得，

故直线过点，，即，解得，

故.

故选：C.

【精选精练】

1．（2020·浙江嵊州·高三三模）若实数，满足约束条件，则（    ）

A．既有最大值也有最小值 B．有最大值，但无最小值

C．有最小值，但无最大值 D．既无最大值也无最小值

【答案】C

【解析】作出可行域，如图所示：

由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，最小，

因为直线在轴上的截距无最小值，所以无最大值．故选：C．

2．（2020·五华·云南师大附中高三三模）已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图，则的最大值就是的最大值时取得，联立,解得.化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为，故选C.

3．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）要使得满足约束条件，的变量表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为，两组对边的距离相等，故，所以或(舍去).

如图所示

故选:C.

4．（2020·浙江嵊州·高三三模）已知x，y满足不等式组若的最小值是，则实数k的值是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图，令，则

当时，直线过点时，取得最小值，因为，即所以；

当时，直线过点时，取得最小值，因为，所以；故选：C

5．（2020·广东顺德·高三三模）已知函数f（x）＝（x﹣3）2﹣1，则平面图形D内的点（m，n）满足条件：f（m）+f（n）＜0，且f（m）﹣f（n）＞0，则D的面积为（    ）

A．π B．3 C． D．1

【答案】A

【解析】，即，该不等式表示的平面区域是以为半径，为半径的圆内部分（不含边界），如图所示，

又，画出其对应区域，如图，直线与互相垂直，且交点刚好是圆心，∴满足条件 的点所形成的区域为图中阴影部分，其面积为．

故选：A.

6．（2020·天水市第一中学高三三模）实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

因为，所以直线的斜率为，

作出不等式对应的平面区域如下：

由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小．

由解得，即，

此时目标函数的最小值为，

即，所以.

当且仅当，即时，等号成立.

故选D

7．（2020·长春市第八中学高三三模）已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】作出可行域如图所示

设圆心为，则

,

过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，

所以，，

故.

故选：D.

8．（2020·安徽省太和第一中学高三三模）设实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由实数，满足约束条件，作出可行域，如图.

表示点与点连线的斜率的2倍再加上1

如同显然当点在点A处时，点与点连线的斜率最大，

由解得

所以的最大值为

故选：C

9．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三三模）若实数x，y满足，且恒成立，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出不等式组对应的可行域，为，其中，，，如图所示

对于可行域内任一点，都有，∴.

∴不等式恒成立，

即不等式恒成立，转化为求的最大值.

又表示可行域内的点与点连线的斜率.

由图可知：，即，

∴，.故选：D.

10．（2020·广西高三三模）设满足约束条件则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部,其中A(3,0),B(1,2)，C(−1,0)

z=|x−3y|,|x−3y|的几何意义是可行域内的点到x−3y=0距离的倍，由图形可知B到x−3y=0的距离最大，∴当x=1,y=2时，z取最大值为5.

本题选择C选项.

11．（2020·浙江高三三模）若直线上存在点满足约束条件，则实数m的最大值为（    ）

A．-1 B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

易知直线与直线的交点为，

直线与直线的交点为，

平移直线，可知当点A与点D重合时，直线与可行域开始有公共点，

此时，故实数m的最大值为1.故选：B.

12．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三三模）在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：

其中，直线过定点，

当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；

当时，直线的斜率，

不等式表示直线下方的区域，不满足题意；

当时，直线的斜率，

不等式表示直线上方的区域，

要使不等式组所表示的平面区域内存在点，

使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.