专题01 圆锥曲线方程（轨迹方程）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

解析几何

专题一：轨迹方程

一、必备秘籍

1、曲线方程的定义

一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：

①曲线上的点的坐标都是方程的解；

②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．

2、求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；

（2）设曲线上任意一点的坐标为；

（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；

（4）用坐标表示这个等式，并化简；

（5）确定化简后的式子中点的范围．

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．

3、求轨迹方程的方法：

（1）定义法：

如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

(2)直译法：

如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

(3)参数法：

如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，

，进而通过消参化为轨迹的普通方程.

(4)代入法（相关点法）：

如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。

(5)点差法：

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.

二、例题讲解

1、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得：，，

当与相切时，有         ①

当与相切时，有        ②

将①②两式的两边分别相加，得，即   ③

移项再两边分别平方得：           ④

两边再平方得：，整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。

2、已知点、动点满足，求点的轨迹？

【解析】 ，

. 由条件，，整理得，

3、过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程。

【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠0）

 ∵M为AB的中点， 消去k，得x＋2y－5＝0。

 另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；

 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。

 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

 分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），

    ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。

分析3：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。

    又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2

    ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，

   注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）

    中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0

综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

4、点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程。

    分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

    则由M为线段AB中点，可得

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

5、已知椭圆，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

【解析】

①－②得．

由题意知，则上式两端同除以，有

将③④代入得．⑤

将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

三、实战练习

1．（2021·广西高三开学考试（理））设双曲线其右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于、两点，

（1）若直线与轴不垂直，求直线的斜率；

【答案】（1）；

【分析】

（1）由题意可设直线方程，联立双曲线方程结合根与系数的关系即得；

【详解】

解：（1）由题知，设直线方程为，代入方程得

．

设，，

则，

，

所以

2．（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）如图，已知，直线，是平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点Q，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

【答案】（1）；（2）①；②.

【分析】

（1）可设出点的坐标，由直线，过作直线的垂线，垂足为点，则，则我们根据，构造出一个关于，的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；

【详解】

（1）设点，则，由，

得， 化简得曲线的方程为；

3．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．

（1）求垂心的轨迹方程；

【答案】（1）（）；

【分析】

（1）由题可求出顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程；

【详解】

设的外心为，半径为R，

则有，

所以即，

设，，有，即有（），

由，则有，

由，则有，

所以有，

则有（），

所以垂心H的轨迹方程为（）；

4．（2021·肥城市教学研究中心高三模拟预测）平面上一动点的坐标为.

（1）求点轨迹的方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）利用求得点的轨迹的方程.

【详解】

（1）设，

则，即，

所以，

所以的方程为.

5．（2021·福建莆田·高三二模）曲线任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．

（1）求的方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）设点，根据条件建立等式，化简即可；

【详解】

（1）设，由题意：，

化简得：，即C的方程为：.

【点睛】

本题可以事先将直线分别取几个特殊的位置，进而判断圆心的位置，得到结论后发现只需要证明AF与BF的斜率满足即可，进而将代入C用根与系数的关系解决.

6．（2021·全国高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

【答案】（1）；.

【分析】

(1)设点，利用向量的数量积以及向量的模化简求解，可得动点P的轨迹方程；

【详解】

（1）设，则，，，

由，知，

化简得：，即动点P的轨迹E的方程为；

7．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于、两点.

（1）求线段的中点的轨迹方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.

【详解】

解：（1）设，，，代入得，

，

又，

所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.

8．（2021·全国（文））设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.

（1）求动点的轨迹的方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）利用直接法求轨迹方程，设，则代入条件可得，化简即可得解；

【详解】

（1）设，则，

所以，

由条件可得，

整理可得点的轨方程为；

9．（2021·四川成都·树德中学高三模拟预测（理））线段的长等于3，两端点､分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程

【答案】（1）；

【分析】

（1）设､､，根据以及可求出结果；

【详解】

（1）设､､，由于，则①，

∵，∴，可得到，

代入①式得点的轨迹曲线的方程为；

【点睛】

关键点点睛：利用斜率公式推出，利用正弦定理求出两个三角形的外接圆的半径是解题关键.

10．（2021·四川自贡·（文））已知平面上动点到点的距离比点到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线，若点，点在曲线上，且满足（为坐标原点）．

（1）求曲线的方程及点坐标；

【答案】（1）y2＝4x，B（2，2）；

【分析】

（1）设P（x，y），根据题意可得＝|x|+1，化简即得曲线C的方程，设B（，y0），解方程组即得点B的坐标；

【详解】

解：（1）设P（x，y），

根据题意可得＝|x|+1，

化简得y2＝2|x|+2x，

当x＜0时，y＝0，不合题意，

当x≥0时，y2＝4x，

所以曲线C的方程为y2＝4x，

设B（，y0），

因为，

所以（﹣1，0）+（﹣1，y0）＝2（0，n），

所以，

解得y02＝8，

因为n＞0，

所以＝＝2，

所以曲线C的方程为y2＝4x，B（2，2）．

11．（2021·黑龙江实验中学高三模拟预测（文））已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.

（1）求点的轨迹方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）设点，可得，由已知可得出，化简可得出轨迹的方程；

【详解】

（1）设点，则，，，

因为，则，

因此，点的轨迹的方程为；

12．（2021·宁夏银川一中高三模拟预测（理））在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的轨迹方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）设圆心，圆的半径为，根据题意可得以及，联立消去即求出曲线C的轨迹方程；

【详解】

（1）设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切, 所以①，又动圆与直线相切.所以②，联立①②消去，可得．

所以曲线的轨迹方程为.

13．（2021·安徽省舒城中学（理））已知点是圆与x轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．

（1）求点的轨迹的方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）解法一：由题意知，，设是上的任意点，表示出弦的中点恰好落在轴上，，代入可得

点的轨迹方程．

解法二：设，弦的中点为，，表示出向量，由垂径定理得，由此可得轨迹方程；

【详解】

（1）解法一：由题意知，，设是上的任意点，

弦的中点恰好落在轴上，

，，，

整理得，，，

点的轨迹方程为．

解法二：设，弦的中点为，，

因为在轴的负半轴上，故．，

由垂径定理得，故．

14．（2021·安徽安庆一中高三三模（理））在直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大．

（1）求动点的轨迹方程；

【答案】（1）曲线M的轨迹方程为和；

【分析】

（1）设出点的坐标，根据题意列出所满足的方程，化简方程可求得的轨迹方程；

【详解】

（1）设，由题意：

两边平方可得：

当时，化简可得，

当时，，

所以曲线M的轨迹方程为和；

15．（2021·贵州贵阳·（理））已知定点，曲线上的任一点都有．

（1）求曲线的方程；

【答案】（1）；

【分析】

（1）设动点坐标，坐标代入化简整理，直接法求动点轨迹方程；

【详解】

（1）设，由，得，

，

，化简整理得.