专题08 数列求和（错位相减法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题08 数列求和（错位相减法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共16页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
数列专题八：数列求和（错位相减法）一、必备秘籍错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.二、例题讲解1．（2021·河北唐山市·高三开学考试）已知为等差数列，前项和为，数列是首项为1的等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）.【分析】（1）用基本量表示题干中的量，联立求解即可；（2）由，，用乘公比错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.①，由得.②，联立①②解得，所以.故的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前n项和为，由，得.，上述两式相减，得，所以，即.     感悟升华（核心秘籍） 错位相减法是高考数列的高频考点，这部分的考点往往得分点偏低：1、错位相减过程中最后一项是“－”，很多同学错把原来的“＋”抄下来了；2、错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，项数数错了，多了一项，或者少了一项；3、最后化简算错；总之，错位相减，计算过程多练，多算，细心算，重在计算。    2．（2021·河南高三开学考试（理））已知数列、满足：且，．（1）求数列和的通项公式；（2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由递推关系可构造等比数列，即可求出，代入化简即可得；（2）由（1）可得，利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由，令，得，是以为首项，以为公比的等比数列．，即．．（2）由题意知，①-②得，，．另解：由题意知①-②得，．  感悟升华（核心秘籍） 如果遇到通项是除的形式如本例中，建议同学们化成乘法的形式，就像本例中的另解化成：，这样在计算过程中更容易避免除法引起的计算错误。  三、实战练习1．（2021·全国）已知是首项为1的单调递增的等差数列，其中，，成等比数列．的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据等比数列的性质及已知条件，求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式即可求解；(2)根据数列的递推公式求出数列的通项公式，再利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求解．【详解】(1)因为是首项为1的单调递增的等差数列，所以，设数列的公差为且，则，，．因为，，成等比数列，所以，即，解得或（舍负），所以．(2)因为，①所以，②由①-②得，所以．因为，，所以是从第二项开始的等比数列，则数列的通项公式为由（Ⅰ）知则，③，④③-④得，所以．2．（2021·榆林市第十中学高三月考（理））已知数列的前项和为，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由已知可得，利用关系求数列的递推关系，由此可求数列的通项公式，(2)由(1) ，利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：本题考查等比数列与错位相减法.(1)由题意知，①当时，，②①-②得，即，又得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. (2).，，上述两式相减，得.所以3．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证得是等比数列并求得其通项公式，然后利用配凑法证得数列是等差数列.（2）由（1）求得，然后利用错位相减求和法求得.【详解】（1）依题意数列满足，，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，两边除以得，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，，两式相减得，.4．（2021·江苏苏州市·高三开学考试）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，若，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据，由数列的通项公式和前n项和公式得到，，再利用等差数列的定义求解；（2）由（1）得到，然后利用错位相减法求解.【详解】（1），则，解得，当时，，即，即，，所以数列为首项和公差均为1的等差数列，所以，故，（2）由（1）得，则，所以，两式相减得，，，所以.5．（2021·安徽高三开学考试（文））设等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）求得，利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，可得，解得；所以数列的通项公式.（2）由（1）可得，记，则，两式相减，可得解得，所以.6．（2021·湖南长郡中学）比知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值．【答案】（1）；（2）2021.【分析】（1）求出公比和首项即可.(2)利用错位相减法，求出，再作差求出递增，即可求解.【详解】（1）因为数列满足：，所以，设的公比为q，可得，又，即，解得，所以；（2），，，上面两式相减可得，化简可，因为，所以递增，最小，且为所以，解得，则m的最大值为2021．7．（2021·广东高三月考）已知数列满足.（1）记的前项和为，求；（2）记，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据等比数列前项和公式求得.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】依题意，当为奇数时，，当为偶数时，.（1）.（2）当为奇数时，，当为偶数时，.所以，即①，②，①-②得，，，所以.8．（2021·渭南市尚德中学高三月考（理））已知公差不为零的等差数列，等比数列，满足，，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设的公差为，的公比为，根据题意列方程组求出和的值，即可求解；（Ⅱ）求出通项，利用乘公比错位相减即可求解.【详解】（Ⅰ）设的公差为，的公比为，，， 由题意可得：整理可得： 解得：或（舍）所以，；（Ⅱ），①，②，两式相减可得：，所以.9．（2021·沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）当时，，解得，当时，由可得出，上述两式作差可得，所以，，所以是以为首项，公比的等比数列，所以；（2），，，上式下式可得，因此，.10．（2021·广东高三月考）已知各项均为正数的数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得，从而证明数列是等比数列，即可求出答案；（2）求出，利用错位相减求和法即可得解.【详解】解：（1）因为，所以，又，所以，即，所以是首项为2，公比为3的等比数列，所以，即的通项公式为．（2）由（1）知，所以，令，①，②①-②得所以，即数列的前项和为．11．（2021·江门市培英高级中学高三其他模拟）已知数列满足：，．（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．【详解】（1）证明：因为，所以，即，，所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，则 ，故，所以；（2）解：，则①    ②①②得：                          所以.12．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）已知数列的前n项和为，且满（k为常数且），数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）若.记数列的前n项和为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）10248.【分析】（1）由与的关系得出，再与作差，结合等差数列的定义证明数列是等差数列；（2）先求出的通项公式，再为等差数列得出，再由错位相减法得出的值.【详解】（1）依题意知          ①当时，当时，         ②由①②知即∴      ③    ④由④③知∴则，故数列是等差数列.（2）由（1）知为等差数列，∴，则∴又，∴∴为等差数列，首项为，公差为1，则∴，则∴，则.