专题06指数函数与对数函数 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题06指数函数与对数函数 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共12页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，名师点睛，变式演练2，变式演练3，变式演练4，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。
专题06  指数函数与对数函数专题导航目录常考点01 指数函数单调性的应用常考点02 指数函数的图像与性质常考点03 比较对数值大小常考点04 对数函数的图像与性质及其应用常考点归纳常考点01 指数函数单调性的应用【典例1】1．若，，则（    ）A． B． C． D．2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则 (　　)A． B． C． D．【答案】1.A   2.B【解析】1.由，得，所以,又，所以，故选B．2.因为,,故选A.【考点总结与提高】1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【变式演练1】1． 设，则的大小关系是A．        B．      C．        D．2．（2015·江苏高考真题）不等式的解集为________.【答案】1.A    2.【解析】1.对于函数，在其定义域上是减函数，，，即.在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象，可知，即.从而.故A正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论.2.,是一个递增函数；故答案为.常考点02 指数函数的图像与性质【典例2】1.已知函数，则是（   ）A．奇函数，且在上是增函数     B．偶函数，且在上是增函数C．奇函数，且在上是减函数     D．偶函数，且在上是减函数2.若存在正数x使成立，则a 的取值范围是（   ）A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）【答案】1.C    2.D【解析】1.易知函数的定义域为，关于原点对称，且，则，所以是奇函数，显然函数是减函数.故选C．2.由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.【考点总结与提高】1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.【变式演练2】1．当时，，则a的取值范围是A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)2.函数的值域为________．【答案】1.B     2.(0，2]【解析】1.当时，显然不成立.若时当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.2.设，又由指数函数为单调递减函数，即可求解．由题意，设，又由指数函数为单调递减函数，知当时，，即函数的值域为．常考点03 比较对数值大小【典例3】1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)Aa<b<c      B．b<a<c     C．b<c<a     D．c<a<b2．（2021·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【答案】 1.A    2.D【解析】1.由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得．综上所述，．故选：A．2.，，，，，，.故选：D.【考点总结与提高】比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．【变式演练3】1．(2013高考数学新课标2理科)设则 (　　)A． B． C． D．2．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则 (　　)A． B． C． D．【答案】1.D     2.D【解析】1. ,显然2.令,则,, ∴,则 ,则,故选D． 常考点04 对数函数的图像与性质及其应用【典例4】1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数的单调递增区间是A．      B．       C．        D．2．（2019全国Ⅰ理5）函数的图像在，的大致为(   )A．    B． C．    D．【答案】1.D     2.D【解析】1.由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.2.因为，，所以，
所以为上的奇函数，因此排除A；
又，因此排除B，C；故选D．【考点总结与提高】1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【变式演练4】1．已知函数，则（    ）A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称2.已知函数；则的图 像大致为（   ）   【答案】1.C    2.B  【解析】1.由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．2.定义域为（－1,0）∪(0,+∞)，=∴在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有B符合，故选B. 【冲关突破训练】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，所以，所以有，故选：B.2．函数的定义域为A．(－，2 )   B．       C．       D．【答案】A【解析】由题意，函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为.故选A．3．设函数，则A．9     B．11      C．13      D．15【答案】B【解析】∵函数，∴=2+9=11．故选B．【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算公式，即可求解式子的数值．其中熟记对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．设a=log32,b=log52,c=log23,则(    )A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D【详解】：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以，所以c＞a＞b，故选D．5．函数的单调递减区间为(   )A．      B．       C．       D．【答案】D【解析】由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为.故选D．【名师点睛】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.6．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】,即又即故选B.7．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.8．若，则(   )A．                               B．   C．                     D．【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误.故选C．【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9．若，，则(    )A． B． C． D．【答案】C【详解】选项C正确，故选C．10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)A． B．C． D．【答案】C【解析】是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．11．函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.12．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．【答案】【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．