专题19数列求和、数列的综合应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题19  数列求和、数列的综合应用

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常考点归纳

常考点01 数列求和

【典例1】

1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和．

2．为数列的前项和．已知

(Ⅰ)求的通项公式：

(Ⅱ)设,求数列的前项和

【考点总结与提高】

求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：

（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；

（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.

（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.

常见的裂项方法有：

（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.

在运用错位相减法求和时需注意：

①合理选取乘数（或乘式）；

②对公比的讨论；

③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；

④相消项中构成数列的项数.

（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

【变式演练1】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

2．等差数列的前项和为，，，则____________．

常考点02 数列中的不等关系

【典例2】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

2．已知数列满足=1，．

(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；

(Ⅱ)证明：

【考点总结与提高】

1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．

解决数列与函数综合问题的注意点：

（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．

（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．

（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．

2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：

（1）判断数列问题中的一些不等关系；

（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；

（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．

在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．

【变式演练2】

1．记为等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最小值．

2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

常考点03 数列中的探索性问题

【典例3】

1.已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列

（1）求数列的通项公式

（2）求出所有的正整数，使得

2.已知各项均为正数的数列满足：，且

（1）设，求数列的通项公式

（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数。

【考点总结与提高】

对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：

（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；

（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．

【变式演练3】

1.已知数列满足，，且对任意，都有．

（1）求，；

（2）设)．

①求数列的通项公式；

②设数列的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．

2.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有： ，若，则：

（1）求数列的通项公式

（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由

【冲关突破训练】  

1．已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则

A．， B．，

C．， D．，

2．（2018浙江）已知成等比数列，且．若，则

A．   B．   C．     D．

3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则

A．2      B．﹣2       C．3      D．﹣3

4．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足， ，则

A．4      B．5      C．9      D．16

5．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．         B．     C．3      D．8

6．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440      B．330       C．220      D．110

7．若等差数列和等比数列满足，，则=___________．

8．在等比数列中，，，成等差数列，则_______.

9．已知函数，且，则__________．

10．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．

11．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

12．设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．

（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：